Menganalisis Batas Fungsi \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x^{2}-5 x}{3-\sqrt{3+x}} \)

Dalam matematika, batas fungsi adalah konsep penting yang digunakan untuk memahami perilaku suatu fungsi saat variabel mendekati suatu nilai tertentu. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x^{2}-5 x}{3-\sqrt{3+x}} \) dan melihat bagaimana kita dapat menentukan nilai batasnya. Pertama-tama, mari kita dekonstruksi fungsi ini. Pada pembilang, kita memiliki \(2x^2 - 5x\), sedangkan pada penyebut kita memiliki \(3 - \sqrt{3+x}\). Ketika kita mencoba untuk menghitung nilai fungsi ini saat \(x\) mendekati 0, kita menghadapi masalah karena kita akan mendapatkan akar negatif pada penyebut. Oleh karena itu, kita perlu mencari cara lain untuk menentukan batas fungsi ini. Salah satu metode yang dapat kita gunakan adalah dengan menggunakan aturan L'Hopital. Aturan ini memungkinkan kita untuk menghitung batas fungsi yang tidak dapat ditentukan secara langsung dengan mengambil turunan dari pembilang dan penyebut dan kemudian menghitung batas dari turunan tersebut. Mari kita terapkan aturan L'Hopital pada fungsi ini. Dengan mengambil turunan dari pembilang dan penyebut, kita mendapatkan: \[ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{4x - 5}{-\frac{1}{2\sqrt{3+x}}} \] Sekarang, kita dapat menghitung batas dari turunan ini saat \(x\) mendekati 0. Dalam hal ini, kita dapat menghilangkan akar pada penyebut dan mendapatkan: \[ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{4x - 5}{-\frac{1}{2\sqrt{3}}} \] Sekarang, kita dapat menyederhanakan fungsi ini lebih lanjut dengan mengalikan penyebut dan pembilang dengan \(\sqrt{3}\), sehingga kita mendapatkan: \[ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{4x - 5}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} \] Sekarang, kita dapat menghitung batas dari fungsi ini saat \(x\) mendekati 0. Dalam hal ini, kita dapat menggantikan \(x\) dengan 0 dan mendapatkan: \[ \frac{4(0) - 5}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{-5}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{3}} \] Jadi, batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x^{2}-5 x}{3-\sqrt{3+x}} \) adalah \(\frac{10}{\sqrt{3}}\). Dalam artikel ini, kita telah menganalisis batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x^{2}-5 x}{3-\sqrt{3+x}} \) dan menggunakan aturan L'Hopital untuk menentukan nilai batasnya. Dengan menggunakan metode ini, kita dapat mengatasi masalah akar negatif pada penyebut dan menemukan nilai batas yang akurat.