Mencari Nilai p yang Memenuhi Persamaan Kuadrat dengan Dua Akar Nyata dan Kembar

Persamaan kuadrat \( \mathrm{px}^{2}+(\mathrm{p}-5) \mathrm{x}-5=0 \) memiliki dua akar nyata dan kembar. Kita perlu mencari nilai \( p \) yang memenuhi persamaan ini.

Untuk mencari nilai \( p \), kita dapat menggunakan rumus diskriminan. Diskriminan adalah bagian dalam akar kuadrat pada rumus kuadratik. Jika diskriminan positif, maka persamaan memiliki dua akar nyata. Jika diskriminan nol, maka persamaan memiliki dua akar nyata dan kembar.

Rumus diskriminan adalah \( D = b^{2} - 4ac \), di mana \( a \), \( b \), dan \( c \) adalah koefisien persamaan kuadrat. Dalam persamaan kita, \( a = p \), \( b = p-5 \), dan \( c = -5 \).

Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus diskriminan:

\( D = (p-5)^{2} - 4(p)(-5) \)

Sekarang kita dapat menyederhanakan persamaan ini:

\( D = p^{2} - 10p + 25 + 20p \)

\( D = p^{2} + 10p + 25 \)

Karena kita ingin mencari nilai \( p \) yang membuat persamaan memiliki dua akar nyata dan kembar, kita harus mencari nilai \( p \) yang membuat diskriminan nol.

Substitusikan \( D = 0 \) ke dalam persamaan diskriminan:

\( p^{2} + 10p + 25 = 0 \)

Sekarang kita memiliki persamaan kuadrat yang dapat diselesaikan dengan faktorisasi atau menggunakan rumus kuadratik.

Namun, kita dapat melihat bahwa persamaan ini adalah bentuk kuadrat sempurna. Bentuk kuadrat sempurna adalah persamaan kuadrat yang dapat difaktorkan menjadi kuadrat dari suatu binomial.

Dalam kasus ini, kita dapat memfaktorkan persamaan menjadi \( (p + 5)^{2} = 0 \).

Dari sini, kita dapat melihat bahwa \( p + 5 = 0 \), yang berarti \( p = -5 \).

Jadi, nilai \( p \) yang memenuhi persamaan kuadrat dengan dua akar nyata dan kembar adalah -5.

Dengan demikian, jawaban yang benar adalah E. -5.