Menentukan Persamaan Kuadrat Baru dengan Akar-akar yang Diberikan

Menentukan persamaan kuadrat baru dengan akar-akar yang diberikan merupakan konsep penting dalam aljabar. Kemampuan untuk memanipulasi persamaan kuadrat dengan mengubah akar-akarnya membuka jalan untuk menyelesaikan berbagai masalah matematika dan aplikasi praktis. Artikel ini akan membahas langkah-langkah yang terlibat dalam menentukan persamaan kuadrat baru dengan akar-akar yang diberikan, serta memberikan contoh untuk mengilustrasikan prosesnya.

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial dengan derajat tertinggi dua. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax² + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah konstanta dan a ≠ 0. Akar-akar persamaan kuadrat adalah nilai-nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Dengan kata lain, akar-akar adalah titik-titik di mana grafik persamaan kuadrat memotong sumbu x.

Menentukan Persamaan Kuadrat Baru dengan Akar-akar yang Diberikan

Untuk menentukan persamaan kuadrat baru dengan akar-akar yang diberikan, kita dapat menggunakan hubungan antara akar-akar dan koefisien persamaan kuadrat. Hubungan ini menyatakan bahwa jumlah akar-akar persamaan kuadrat sama dengan -b/a, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan c/a.

Misalkan α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0. Maka, kita dapat menuliskan persamaan kuadrat baru dengan akar-akar α + k dan β + k sebagai berikut:

(x - (α + k))(x - (β + k)) = 0

Dengan mengalikan kedua sisi persamaan, kita mendapatkan:

x² - (α + β + 2k)x + (α + k)(β + k) = 0

Sekarang, kita dapat menggunakan hubungan antara akar-akar dan koefisien untuk menentukan koefisien persamaan kuadrat baru. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α + β + 2k, dan hasil kali akar-akarnya adalah (α + k)(β + k).

Contoh

Misalkan kita ingin menentukan persamaan kuadrat baru dengan akar-akar 2 dan 3, yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat x² - 5x + 6 = 0. Kita ingin akar-akar persamaan kuadrat baru menjadi 2 + 1 dan 3 + 1, yaitu 3 dan 4.

Pertama, kita perlu menentukan nilai k. Dalam kasus ini, k = 1. Kemudian, kita dapat menggunakan rumus yang telah kita turunkan sebelumnya untuk menentukan persamaan kuadrat baru:

x² - (2 + 3 + 2(1))x + (2 + 1)(3 + 1) = 0

x² - 8x + 12 = 0

Jadi, persamaan kuadrat baru dengan akar-akar 3 dan 4 adalah x² - 8x + 12 = 0.

Kesimpulan

Menentukan persamaan kuadrat baru dengan akar-akar yang diberikan adalah proses yang relatif sederhana yang melibatkan penggunaan hubungan antara akar-akar dan koefisien persamaan kuadrat. Dengan memahami hubungan ini, kita dapat memanipulasi persamaan kuadrat untuk mendapatkan persamaan baru dengan akar-akar yang diinginkan. Kemampuan ini sangat berguna dalam berbagai aplikasi matematika dan praktis, seperti menyelesaikan persamaan, menggambar grafik, dan memodelkan fenomena dunia nyata.