Fungsi \( F(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}-6 x+7 \) dan Titik Stationerny

Fungsi matematika adalah konsep penting dalam matematika yang digunakan untuk menggambarkan hubungan antara variabel. Salah satu jenis fungsi yang umum digunakan adalah fungsi polinomial. Dalam artikel ini, kita akan membahas fungsi polinomial khusus \( F(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}-6 x+7 \) dan titik stationernya. Titik stationer adalah titik di mana gradien fungsi menjadi nol. Dalam kasus fungsi polinomial, titik stationer dapat ditemukan dengan mencari turunan fungsi dan menyelesaikannya untuk nol. Untuk fungsi \( F(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}-6 x+7 \), kita akan mencari titik stationernya. Langkah pertama adalah mencari turunan fungsi \( F(x) \). Turunan fungsi polinomial dapat ditemukan dengan mengalikan setiap suku dengan pangkatnya dan mengurangi pangkatnya dengan 1. Dalam kasus ini, turunan fungsi \( F(x) \) adalah \( F'(x)=x^{2}-5x-6 \). Langkah berikutnya adalah menyelesaikan turunan fungsi untuk nol. Dalam kasus ini, kita akan mencari nilai x yang membuat \( F'(x) \) menjadi nol. Dengan mengatur \( F'(x) \) sama dengan nol, kita dapat memecahkan persamaan kuadrat \( x^{2}-5x-6=0 \). Dengan menggunakan metode faktorisasi atau rumus kuadrat, kita dapat menemukan bahwa solusi persamaan kuadrat ini adalah \( x=-1 \) dan \( x=6 \). Oleh karena itu, titik stationer dari fungsi \( F(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}-6 x+7 \) adalah \( (-1, F(-1)) \) dan \( (6, F(6)) \). Untuk menentukan jenis titik stationer, kita perlu memeriksa tanda turunan kedua fungsi \( F(x) \) di sekitar titik stationer. Jika turunan kedua positif, maka titik stationer adalah minimum lokal. Jika turunan kedua negatif, maka titik stationer adalah maksimum lokal. Jika turunan kedua sama dengan nol, maka titik stationer tidak memiliki jenis yang jelas. Untuk fungsi \( F(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}-6 x+7 \), turunan kedua fungsi adalah \( F''(x)=2x-5 \). Dengan memasukkan nilai x dari titik stationer, kita dapat menentukan jenis titik stationer. Untuk titik stationer \( (-1, F(-1)) \), kita memiliki \( F''(-1)=2(-1)-5=-7 \). Karena turunan kedua negatif, titik stationer \( (-1, F(-1)) \) adalah maksimum lokal. Untuk titik stationer \( (6, F(6)) \), kita memiliki \( F''(6)=2(6)-5=7 \). Karena turunan kedua positif, titik stationer \( (6, F(6)) \) adalah minimum lokal. Dengan demikian, titik stationer dari fungsi \( F(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}-6 x+7 \) adalah \( (-1, F(-1)) \) yang merupakan maksimum lokal, dan \( (6, F(6)) \) yang merupakan minimum lokal.