Metode Koeffisien Tak-Tentu dalam Penyelesaian Persamaan Differensial Tak-Homogen

Persamaan differensial tak-homogen adalah bentuk umum persamaan differensial orde kedua yang dinyatakan sebagai berikut: \[y^{\prime \prime}+p(x) y+q(x) y=f(x)\] di mana \(p(x)\) dan \(q(x)\) dapat berupa fungsi \(x\) atau konstanta, dan \(f(x)\) adalah fungsi tak-nol. Metode koeffisien tak-tentu adalah salah satu metode penyelesaian untuk persamaan differensial tak-homogen. Penyelesaian persamaan differensial tak-homogen dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari fungsi komplementer \((y_{c})\) dan integral khusus \((y_{p})\), yaitu \(y=y_{c}+y_{p}\). Fungsi komplementer diperoleh dengan menyelesaikan persamaan differensial homogen terkait, yaitu \[y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0\] sehingga diperoleh \(y_{c}=y_{e}=c_{1} y_{1}+c_{y} y_{2}\). Sedangkan integral khusus diperoleh dengan mengasumsikan bentuk umum dari \(y\) sesuai dengan bentuk umum \(f(x)\) yang diberikan dalam tabel. Tabel 1,2 Bentuk umum dari \(f(x)\) \begin{tabular}{|c|l|l|} \hline No. & \multicolumn{1}{|c|}{\(f(x)\)} & \multicolumn{1}{|c|}{Bentuk umum} \\ \hline 1 & \(f(x)\) adalah polinomial derajat \(n\) & \(y\) adalah polinomial derajat \(n\) \\ \hline 2 & \(f(x)=k \sin x\) atau \(k \cos x\) & \(y=A \cos x+B \sin x\) \\ \hline 3 & \(f(x)=k \sinh x\) atau \(k \cosh x\) & \(y=A \cosh x+B \sinh x\) \\ \hline 4 & \(f(x)=k \exp (m x)\) & \\ \hline \end{tabular} Sebagai contoh, kita akan menyelesaikan persamaan differensial tak-homogen berikut: \[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+4 \frac{d y}{d x}+3 y=2 x\] Dalam penyelesaiannya, kita akan menggunakan metode koeffisien tak-tentu. Pertama, kita menyelesaikan persamaan differensial homogen terkait: \[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+4 \frac{d y}{d x}+3 y=0\] Dengan mencari akar karakteristik, kita dapatkan \(r_{1}=-1\) dan \(r_{2}=-3\). Sehingga, solusi umum persamaan differensial homogen adalah \(y_{c}=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{3 x}\). Selanjutnya, kita mencari integral khusus \(y_{p}\) dengan mengasumsikan bentuk umum \(y_{p}=a x+b\). Dengan menghitung turunan pertama dan kedua dari \(y_{p}\), kita dapatkan \(y_{p}^{\prime}=a\) dan \(y_{p}^{\prime \prime}=0\). Substitusikan \(y_{p}\), \(y_{p}^{\prime}\), dan \(y_{p}^{\prime \prime}\) ke dalam persamaan differensial tak-homogen awal, kita dapatkan: \[0+4(a)+3(ax+b)=2x\] Dari sini, kita dapatkan \(a=\frac{2}{3}\) dan \(b=0\). Sehingga, solusi integral khusus persamaan differensial tak-homogen adalah \(y_{p}=\frac{2}{3}x\). Dengan menggabungkan solusi umum persamaan differensial homogen dan solusi integral khusus, kita dapatkan solusi umum persamaan differensial tak-homogen: \[y=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{3 x}+\frac{2}{3}x\] Dalam penyelesaian persamaan differensial tak-homogen, metode koeffisien tak-tentu sangat berguna dalam menentukan solusi integral khusus yang sesuai dengan bentuk umum \(f(x)\) yang diberikan.