Mencari Matriks X dalam Persamaan Matriks

Dalam matematika, persamaan matriks adalah persamaan yang melibatkan matriks. Dalam kasus ini, kita diberikan dua matriks A dan B, dan kita harus mencari matriks X sehingga XA = B. Matriks A diberikan sebagai berikut: \[ A=\left(\begin{array}{cc}-2 & -3 \\ 1 & -1\end{array}\right) \] Matriks B diberikan sebagai berikut: \[ B=\left(\begin{array}{cc}0 & -5 \\ -10 & -5\end{array}\right) \] Kita harus mencari matriks X yang memenuhi persamaan XA = B. Untuk mencari matriks X, kita dapat menggunakan metode invers. Kita dapat mengalikan kedua sisi persamaan dengan invers matriks A. Dalam hal ini, kita dapat mengalikan kedua sisi dengan matriks A^-1. Namun, sebelum kita dapat mengalikan kedua sisi dengan invers matriks A, kita perlu memastikan bahwa matriks A memiliki invers. Untuk memeriksa apakah matriks A memiliki invers, kita dapat menghitung determinan matriks A. Jika determinan matriks A tidak sama dengan nol, maka matriks A memiliki invers. Untuk matriks A yang diberikan, kita dapat menghitung determinannya sebagai berikut: \[ \text{det}(A) = (-2 \times -1) - (-3 \times 1) = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5 \] Karena determinan matriks A tidak sama dengan nol, kita dapat yakin bahwa matriks A memiliki invers. Selanjutnya, kita dapat menghitung invers matriks A. Invers matriks A dapat ditemukan dengan mengalikan matriks adjoin A dengan invers determinan A. Matriks adjoin A dapat ditemukan dengan menukar elemen-elemen diagonal utama dengan elemen-elemen diagonal sekunder dan mengubah tanda elemen-elemen di luar diagonal utama. Untuk matriks A yang diberikan, matriks adjoin A adalah sebagai berikut: \[ \text{adj}(A) = \left(\begin{array}{cc}-1 & -3 \\ -1 & -2\end{array}\right) \] Selanjutnya, kita dapat menghitung invers determinan A sebagai berikut: \[ \text{det}(A)^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} = \frac{1}{5} \] Akhirnya, kita dapat mengalikan matriks adjoin A dengan invers determinan A untuk mendapatkan invers matriks A: \[ A^{-1} = \text{adj}(A) \times \text{det}(A)^{-1} = \left(\begin{array}{cc}-1 & -3 \\ -1 & -2\end{array}\right) \times \frac{1}{5} = \left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & -\frac{2}{5}\end{array}\right) \] Sekarang kita memiliki invers matriks A, kita dapat mengalikan kedua sisi persamaan dengan invers matriks A untuk mencari matriks X. \[ XA = B \] \[ X = B \times A^{-1} \] Menggantikan nilai matriks B dan invers matriks A yang telah kita hitung, kita dapat menghitung matriks X sebagai berikut: \[ X = \left(\begin{array}{cc}0 & -5 \\ -10 & -5\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & -\frac{2}{5}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-6 & -2 \\ 4 & 1\end{array}\right) \] Jadi, matriks X yang memenuhi persamaan XA = B adalah: \[ X = \left(\begin{array}{cc}-6 & -2 \\ 4 & 1\end{array}\right) \]