Sifat-sifat Limit (Teorema Limit)

Dalam matematika, limit adalah konsep yang penting dalam mempelajari perilaku fungsi saat variabel mendekati suatu titik tertentu. Dalam artikel ini, kita akan membahas sifat-sifat limit, yang dikenal sebagai teorema limit. Teorema limit memberikan aturan-aturan yang berguna dalam menghitung limit fungsi. a. Sifat Limit Konstanta: Jika \( f(x) \) adalah fungsi yang memiliki limit saat \( x \) mendekati \( a \), maka limit dari konstanta \( k \) saat \( x \) mendekati \( a \) adalah \( k \). Dalam notasi matematika, ini dapat ditulis sebagai \( \lim _{x \rightarrow a} k = k \). b. Sifat Limit Identitas: Limit dari variabel \( x \) saat \( x \) mendekati \( a \) adalah \( a \). Dalam notasi matematika, ini dapat ditulis sebagai \( \lim _{x \rightarrow a} x = a \). c. Sifat Limit Perkalian dengan Konstanta: Jika \( f(x) \) adalah fungsi yang memiliki limit saat \( x \) mendekati \( a \), maka limit dari perkalian konstanta \( k \) dengan \( f(x) \) saat \( x \) mendekati \( a \) adalah \( k \) dikali limit dari \( f(x) \) saat \( x \) mendekati \( a \). Dalam notasi matematika, ini dapat ditulis sebagai \( \lim _{x \rightarrow a} k f(x) = k \lim _{x \rightarrow a} f(x) \). d. Sifat Limit Penjumlahan dan Pengurangan: Jika \( f(x) \) dan \( g(x) \) adalah fungsi yang memiliki limit saat \( x \) mendekati \( a \), maka limit dari penjumlahan atau pengurangan \( f(x) \) dan \( g(x) \) saat \( x \) mendekati \( a \) adalah penjumlahan atau pengurangan dari limit \( f(x) \) dan limit \( g(x) \) saat \( x \) mendekati \( a \). Dalam notasi matematika, ini dapat ditulis sebagai \( \lim _{x \rightarrow a} (f(x) \pm g(x)) = \lim _{x \rightarrow a} f(x) \pm \lim _{x \rightarrow a} g(x) \). e. Sifat Limit Perkalian: Jika \( f(x) \) dan \( g(x) \) adalah fungsi yang memiliki limit saat \( x \) mendekati \( a \), maka limit dari perkalian \( f(x) \) dan \( g(x) \) saat \( x \) mendekati \( a \) adalah perkalian dari limit \( f(x) \) dan limit \( g(x) \) saat \( x \) mendekati \( a \). Dalam notasi matematika, ini dapat ditulis sebagai \( \lim _{x \rightarrow a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim _{x \rightarrow a} f(x) \cdot \lim _{x \rightarrow a} g(x) \). f. Sifat Limit Pembagian: Jika \( f(x) \) dan \( g(x) \) adalah fungsi yang memiliki limit saat \( x \) mendekati \( a \), dan limit \( g(x) \) tidak sama dengan 0, maka limit dari pembagian \( f(x) \) dan \( g(x) \) saat \( x \) mendekati \( a \) adalah pembagian dari limit \( f(x) \) dan limit \( g(x) \) saat \( x \) mendekati \( a \). Dalam notasi matematika, ini dapat ditulis sebagai \( \lim _{x \rightarrow a} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{\lim _{x \rightarrow a} f(x)}{\lim _{x \rightarrow a} g(x)} \). g. Sifat Limit Pangkat: Jika \( f(x) \) adalah fungsi yang memiliki limit saat \( x \) mendekati \( a \), maka limit dari \( f(x) \) dipangkatkan dengan bilangan bulat \( n \) saat \( x \) mendekati \( a \) adalah \( \left(\lim _{x \rightarrow a} f(x)\right)^n \). Dalam notasi matematika, ini dapat ditulis sebagai \( \lim _{x \rightarrow a} (f(x))^n = \left(\lim _{x \rightarrow a} f(x)\right)^n \). h. Sifat Limit Akar Pangkat: Jika \( f(x) \) adalah fungsi yang memiliki limit saat \( x \) mendekati \( a \), dan \( n \) adalah bilangan bulat lebih besar dari atau sama dengan 2, dan \( f(x) \) selalu non-negatif, maka limit dari akar pangkat \( n \) dari \( f(x) \) saat \( x \) mendekati \( a \) adalah akar pangkat \( n \) dari limit \( f(x) \) saat \( x \) mendekati \( a \). Dalam notasi matematika, ini dapat ditulis sebagai \( \lim _{x \rightarrow a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim _{x \rightarrow a} f(x)} \). Dengan memahami sifat-sifat limit ini, kita dapat dengan mudah menghitung limit fungsi dan memahami perilaku fungsi saat variabel mendekati suatu titik. Sifat-sifat ini sangat berguna dalam berbagai bidang matematika dan ilmu terkait.