Menyelesaikan Masalah-Masalah Matematika yang Melibatkan Bilangan Kompleks

1. Keterangan soal: $A=$ angka terakhir NIM, jika 0 ganti dengan 5 - Dalam masalah ini, kita diminta untuk menghitung nilai $j^{6}$ dan $j^{9}$, di mana $j$ adalah satuan imajiner yang memenuhi persamaan $j=\sqrt{-1}$. - Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan imajiner, kita dapat menghitung $j^{6}$ dan $j^{9}$ sebagai berikut: - $j^{6} = (j^{2})^{3} = (-1)^{3} = -1$ - $j^{9} = j^{6} \cdot j^{3} = -1 \cdot j = -j$ - Oleh karena itu, $j^{6} = -1$ dan $j^{9} = -j$. 2. Diketahui bilangan Kompleks $z=A-j10$. a. Bagian riil dan bagian imajiner: - Bagian riil: $A$ - Bagian imajiner: $-10$ b. Konjugatnya: - Konjugat dari $z$ adalah $A+j10$ 3. Diketahui $z_{1}=5+j4$ dan $z_{2}=A-j$ a. $z_{1}+z_{2}$: - $z_{1}+z_{2} = (5+A) + (j4-j) = (5+A) + j(4-1) = (5+A) + j3$ b. $z_{1}-z_{2}$: - $z_{1}-z_{2} = (5-A) + (j4+j) = (5-A) + j(4+1) = (5-A) + j5$ c. $z_{1}\cdot z_{2}$: - $z_{1}\cdot z_{2} = (5+j4)(A-j) = 5A - 5j + 4j - 4j^{2} = 5A - j + 4$ d. $\frac{z_{1}}{z_{2}}$: - $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{5+j4}{A-j} = \frac{(5+j4)(A+j)}{(A-j)(A+j)} = \frac{5A + 5j + 4A + 4j}{A^{2} + 1} = \frac{9A + 9j}{A^{2} + 1}$ 4. Nyatakan bilangan Kompleks $z=A-j4$ ke bentuk Polar dan Eksponensial: - Bentuk Polar: $z = r(\cos \theta + j\sin \theta)$, di mana $r = |z|$ dan $\theta = \arg z$ - $r = |z| = \sqrt{A^{2} + (-4)^{2}} = \sqrt{A^{2} + 16}$ - $\theta = \arg z = \arctan \left(\frac{-4}{A}\right)$ - Bentuk Eksponensial: $z = r e^{j\theta}$ - $z = \sqrt{A^{2} + 16} e^{j\arctan \left(\frac{-4}{A}\right)}$ Dalam kesimpulan, kita telah menyelesaikan masalah-masalah matematika yang melibatkan bilangan kompleks dengan menggunakan sifat-sifat bilangan imajiner dan melakukan perhitungan yang tepat. Dengan memahami konsep-konsep matematika yang relevan, kita dapat menyelesaikan masalah-masalah tersebut dengan efektif dan akurat.