Menjelajahi Kekuatan Eksponen dalam Menyederhanakan Ekspresi Matematika ##

Dalam dunia matematika, eksponen memainkan peran penting dalam menyederhanakan ekspresi kompleks. Eksponen memungkinkan kita untuk menuliskan perkalian berulang dengan cara yang lebih ringkas dan efisien. Dalam soal ini, kita diminta untuk menghitung hasil dari ekspresi yang melibatkan eksponen pecahan. Pertama, kita perlu memahami sifat-sifat eksponen. Salah satu sifat penting adalah bahwa $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. Dengan menggunakan sifat ini, kita dapat menyederhanakan setiap suku dalam ekspresi tersebut. Misalnya, $8^{-\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{8^{-3}} = \sqrt[5]{\frac{1}{8^3}} = \frac{1}{\sqrt[5]{8^3}} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$. Dengan cara yang sama, kita dapat menyederhanakan suku-suku lainnya: * $9^{\frac{5}{4}} = \sqrt[4]{9^5} = \sqrt[4]{3^{10}} = 3^{\frac{10}{4}} = 3^{\frac{5}{2}}$ * $81^{-\frac{1}{8}} = \sqrt[8]{81^{-1}} = \sqrt[8]{\frac{1}{81}} = \frac{1}{\sqrt[8]{81}} = \frac{1}{3}$ * $64^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4$ Sekarang, kita dapat mengganti suku-suku yang telah disederhanakan ke dalam ekspresi awal: $\frac {(8^{-\frac {3}{5}}9^{\frac {5}{4}})}{(81^{-\frac {1}{8}}64^{\frac {1}{3}})} = \frac{(\frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{5}{2}})}{(\frac{1}{3} \cdot 4)} = \frac{3^{\frac{5}{2}}}{32}$ Untuk menyederhanakan lebih lanjut, kita dapat menulis $3^{\frac{5}{2}}$ sebagai $\sqrt{3^5} = \sqrt{243}$. Jadi, hasil dari ekspresi tersebut adalah $\frac{\sqrt{243}}{32}$. Melalui proses ini, kita dapat melihat bagaimana pemahaman sifat-sifat eksponen memungkinkan kita untuk menyederhanakan ekspresi kompleks dan mencapai solusi yang lebih mudah dipahami.