Mencari Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurn

Persamaan kuadrat adalah bentuk persamaan matematika yang melibatkan variabel dengan pangkat dua. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, kita perlu mencari akar-akarnya, yaitu nilai-nilai variabel yang membuat persamaan tersebut benar. Dalam artikel ini, kita akan fokus pada mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan menggunakan metode melengkapkan kuadrat sempurna. Metode ini melibatkan mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna, sehingga kita dapat dengan mudah menemukan akar-akarnya. Mari kita mulai dengan persamaan pertama: \( x^{2}-4 x-1=0 \). Untuk melengkapkan kuadrat sempurna, kita perlu menambahkan dan mengurangkan kuadrat dari setengah koefisien variabel x. Dalam hal ini, setengah dari -4 adalah -2, sehingga kita perlu menambahkan dan mengurangkan 4 pada persamaan tersebut: \( x^{2}-4 x-1+4-4=0 \) Dengan melakukan pengelompokan, kita dapat mengubah persamaan menjadi bentuk kuadrat sempurna: \( (x^{2}-4 x+4)-5=0 \) \( (x-2)^{2}-5=0 \) Selanjutnya, kita dapat mencari akar-akar persamaan ini dengan menghilangkan konstanta -5: \( (x-2)^{2}=5 \) \( x-2=\pm \sqrt{5} \) \( x=2\pm \sqrt{5} \) Jadi, akar-akar persamaan \( x^{2}-4 x-1=0 \) adalah \( x=2+\sqrt{5} \) dan \( x=2-\sqrt{5} \). Selanjutnya, mari kita lanjutkan dengan persamaan kedua: \( 2 x^{2}+7 x-15=0 \). Kita akan menggunakan metode yang sama untuk melengkapkan kuadrat sempurna. Setengah dari 7 adalah 3.5, sehingga kita perlu menambahkan dan mengurangkan 3.5 pada persamaan tersebut: \( 2 x^{2}+7 x-15+3.5-3.5=0 \) Dengan melakukan pengelompokan, kita dapat mengubah persamaan menjadi bentuk kuadrat sempurna: \( (2 x^{2}+7 x+3.5^{2})-3.5^{2}-15=0 \) \( (2 x+3.5)^{2}-3.5^{2}-15=0 \) \( (2 x+3.5)^{2}-3.5^{2}-15=0 \) Selanjutnya, kita dapat mencari akar-akar persamaan ini dengan menghilangkan konstanta -3.5^{2}-15: \( (2 x+3.5)^{2}=3.5^{2}+15 \) \( 2 x+3.5=\pm \sqrt{3.5^{2}+15} \) \( 2 x+3.5=\pm \sqrt{28.25+15} \) \( 2 x+3.5=\pm \sqrt{43.25} \) \( 2 x+3.5=\pm 6.57 \) \( 2 x=-3.5\pm 6.57 \) \( x=\frac{-3.5\pm 6.57}{2} \) Jadi, akar-akar persamaan \( 2 x^{2}+7 x-15=0 \) adalah \( x=\frac{-3.5+6.57}{2} \) dan \( x=\frac{-3.5-6.57}{2} \). Lanjutkan dengan persamaan ketiga dan keempat menggunakan metode yang sama.