Linear Systems with Constant Coefficients and the Routh Test

Linear Systems with Constant Coefficients adalah topik yang penting dalam matematika terapan. Sistem linier dengan koefisien konstan sering muncul dalam berbagai bidang, seperti fisika, teknik, dan ekonomi. Dalam artikel ini, kita akan membahas metode konstruksi sistem linier dengan koefisien konstan dan penggunaan uji Routh dalam menganalisis sistem tersebut. Metode konstruksi sistem linier dengan koefisien konstan dapat dilakukan dengan menggunakan array yang disusun secara khusus. Dalam array ini, koefisien dengan nomor genap ditempatkan dalam baris atas, sedangkan koefisien dengan nomor ganjil ditempatkan dalam baris kedua. Koefisien dalam baris ketiga dihitung menggunakan rumus cross multiplication. Proses ini dilanjutkan hingga tidak ada baris baru yang dapat ditentukan. Jumlah perubahan tanda dalam kolom pertama array ini menunjukkan jumlah akar dari polinomial dalam setengah bagian kanan bidang kompleks. Sebagai contoh, kita akan menggunakan polinomial $P(\lambda) = -4\lambda^4 + \lambda^3 + 2\lambda^2 + \lambda + 4$. Array yang dihasilkan adalah sebagai berikut: 4 2 -4 11 -2 -4 -2 -4 ~ 1 Array ini memiliki satu perubahan tanda dalam kolom pertama, yang menunjukkan bahwa terdapat satu akar dalam setengah bagian kanan bidang kompleks. Dalam artikel ini, kita juga akan menganalisis beberapa polinomial lainnya dan menentukan jumlah akar dalam setengah bagian kanan bidang kompleks. Selanjutnya, kita akan membahas tentang uji Routh. Uji Routh adalah metode yang digunakan untuk menguji apakah suatu polinomial memiliki akar dalam setengah bagian kanan bidang kompleks. Dalam bagian ini, kita akan membuktikan bahwa membalik urutan koefisien dalam uji Routh akan memberikan hasil yang sama. Hal ini dapat sangat berguna dalam menguji polinomial seperti $\lambda^6 + \lambda^5 + 3\lambda^4 + 2\lambda^3 + 4\lambda^2 + a\lambda + 8$, di mana a adalah parameter. Dengan demikian, artikel ini akan membahas metode konstruksi sistem linier dengan koefisien konstan dan penggunaan uji Routh dalam menganalisis sistem tersebut. Kita juga akan membuktikan bahwa membalik urutan koefisien dalam uji Routh akan memberikan hasil yang sama. Semoga artikel ini dapat memberikan pemahaman yang lebih baik tentang topik ini dan berguna dalam aplikasi praktis di berbagai bidang.