Memecahkan Persamaan Eksponensial dan Menyederhanakan Pecahan

Persamaan Eksponensial: Dalam matematika, persamaan eksponensial adalah persamaan yang melibatkan suatu variabel dalam pangkat eksponen. Dalam kasus ini, kita akan memecahkan persamaan eksponensial \(5^{x+3}=25^{x+5}\) untuk mencari nilai \(x\). Langkah-langkah untuk memecahkan persamaan eksponensial ini adalah sebagai berikut: 1. Menggunakan sifat eksponen yang mengatakan bahwa \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\), kita dapat menyederhanakan persamaan menjadi \(5^x \cdot 5^3 = 25^x \cdot 25^5\). 2. Karena \(5^3 = 125\) dan \(25^5 = 9,765,625\), persamaan menjadi \(5^x \cdot 125 = 25^x \cdot 9,765,625\). 3. Kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan membagi kedua sisi dengan 125, sehingga persamaan menjadi \(5^x = 25^x \cdot 78,125\). 4. Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan mengubah kedua sisi persamaan menjadi bentuk yang sama. Karena \(5^x\) dan \(25^x\) memiliki basis yang sama yaitu 5, kita dapat menyederhanakan persamaan menjadi \(5^x = 5^{2x} \cdot 78,125\). 5. Dengan menggunakan sifat eksponen yang mengatakan bahwa \(a^m = a^n\) jika dan hanya jika \(m = n\), kita dapat menyamakan eksponen pada kedua sisi persamaan. Dalam hal ini, kita dapat menyamakan \(x\) dengan \(2x\), sehingga persamaan menjadi \(x = 2x \cdot 78,125\). 6. Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan membagi kedua sisi dengan \(2x\), sehingga persamaan menjadi \(x = 78,125\). Jadi, nilai \(x\) dari persamaan \(5^{x+3}=25^{x+5}\) adalah 78,125. Pecahan: Dalam matematika, pecahan adalah representasi dari bilangan rasional dalam bentuk \( \frac{a}{b} \), di mana \(a\) dan \(b\) adalah bilangan bulat dan \(b\) tidak sama dengan 0. Dalam kasus ini, kita akan menyederhanakan pecahan \( \frac{2}{\sqrt{3}} \) menjadi bentuk rasional. Langkah-langkah untuk menyederhanakan pecahan ini adalah sebagai berikut: 1. Kita dapat menyederhanakan akar kuadrat dalam penyebut dengan mengalikan akar kuadrat tersebut dengan konjugatnya. Dalam hal ini, konjugat dari \( \sqrt{3} \) adalah \( \sqrt{3} \). 2. Dengan mengalikan kedua sisi pecahan dengan \( \sqrt{3} \), kita dapat menyederhanakan pecahan menjadi \( \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} \). 3. Karena \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \), pecahan menjadi \( \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{3} \). Jadi, bentuk rasional dari pecahan \( \frac{2}{\sqrt{3}} \) adalah \( \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{3} \). Dengan demikian, kita telah berhasil memecahkan persamaan eksponensial dan menyederhanakan pecahan sesuai dengan persyaratan yang diberikan.