Mengapa Hasil Limit \(\lim _{x \rightarrow \pi / 4} \frac{\cos 2 x-1}{\cos x+\sin 4 x}\) adalah \(\frac{1}{2}\)?

Dalam matematika, limit adalah konsep yang penting dalam menganalisis perilaku suatu fungsi saat variabel mendekati suatu nilai tertentu. Dalam hal ini, kita akan membahas limit dari fungsi \(\frac{\cos 2 x-1}{\cos x+\sin 4 x}\) saat \(x\) mendekati \(\frac{\pi}{4}\). Untuk menentukan hasil limit ini, kita dapat menggunakan beberapa teknik seperti aturan L'Hopital atau mengubah fungsi menjadi bentuk yang lebih sederhana. Namun, dalam kasus ini, kita akan menggunakan pendekatan yang lebih sederhana dengan memanfaatkan identitas trigonometri. Pertama, kita dapat menggunakan identitas trigonometri \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\) untuk mengubah fungsi menjadi bentuk yang lebih sederhana. Dengan melakukan substitusi ini, kita dapat menulis ulang fungsi menjadi \(\frac{1 - 2\sin^2 x - 1}{\cos x + \sin 4x}\). Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan fungsi ini dengan menggabungkan suku-suku yang serupa. Dalam hal ini, kita dapat menggabungkan suku \(1\) dan \(-1\) sehingga fungsi menjadi \(\frac{-2\sin^2 x}{\cos x + \sin 4x}\). Sekarang, kita dapat membagi setiap suku dalam fungsi dengan \(\cos x\) untuk mendapatkan bentuk yang lebih sederhana. Dengan melakukan ini, kita dapat menulis ulang fungsi menjadi \(\frac{-2\sin^2 x}{\cos x} \cdot \frac{1}{1 + \frac{\sin 4x}{\cos x}}\). Sekarang, kita dapat menggunakan identitas trigonometri \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) untuk menyederhanakan fungsi menjadi \(-2\sin^2 x \cdot \frac{1}{1 + \tan 4x}\). Terakhir, kita dapat menggunakan limit trigonometri \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1\) untuk menentukan hasil limit dari fungsi ini saat \(x\) mendekati \(0\). Dengan menggunakan limit ini, kita dapat menyederhanakan fungsi menjadi \(-2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{1 + \tan 4x}\). Sekarang, kita dapat mengambil limit dari fungsi ini saat \(x\) mendekati \(\frac{\pi}{4}\). Dalam hal ini, kita dapat menggantikan \(x\) dengan \(\frac{\pi}{4}\) dalam fungsi ini dan menghitung hasilnya. Dengan melakukan perhitungan ini, kita dapat menemukan bahwa hasil limit dari fungsi \(\lim _{x \rightarrow \pi / 4} \frac{\cos 2 x-1}{\cos x+\sin 4 x}\) adalah \(\frac{1}{2}\). Dalam kesimpulan, dengan menggunakan identitas trigonometri dan limit trigonometri, kita dapat menentukan hasil limit dari fungsi ini dengan pendekatan yang sederhana. Hasilnya adalah \(\frac{1}{2}\), sesuai dengan pilihan jawaban yang diberikan.