Menemukan Volume Benda Putar dengan Metode Integrasi

Dalam matematika, volume benda putar adalah konsep penting yang digunakan untuk menghitung volume suatu bentuk tiga dimensi yang dibentuk oleh memutar suatu bentuk dua dimensi di sekitar sumbu tertentu. Metode integrasi adalah teknik yang digunakan untuk menghitung volume benda putar, dan melibatkan mengintegrasikan fungsi kuadrat dari batas-batas tertentu.

Untuk menghitung volume benda putar menggunakan metode integrasi, kita perlu menentukan fungsi kuadrat yang menggambarkan bentuk dua dimensi yang akan di-putar. Dalam kasus ini, fungsi kuadrat adalah $x^{2+2x}$, di mana $a=0$ dan $3$. Ini berarti bahwa kita akan memutar bentuk dua dimensi yang terbentuk oleh grafik fungsi $x^{2+2x}$ dari 0 hingga 3 di sekitar sumbu $x$.

Untuk menghitung volume benda putar, kita perlu mengintegrasikan fungsi kuadrat ini dari 0 hingga 3, dan mengalikan hasilnya dengan $\pi$, yang merupakan konstanta yang mewakili lingkaran yang akan di-putar. Dengan kata lain, kita akan menghitung:

$\int \pi (x^{2+2x})^{2}dx$ dari 0 sampai 3

Ini akan memberikan kita volume benda putar. Untuk menghitung integral ini, kita dapat menggunakan aturan pangkat dan aturan integral, yang akan memberikan kita:

$\int \pi (x^{4+4x}+4)dx$ dari 0 sampai 3

Menggabungkan konstanta, kita dapat menyederhanakan integral ini menjadi:

$\int \pi (x^{4+4x}+4)dx$ dari 0 samp3

Menggantikan batas-batas, kita dapat mengevaluasi integral ini untuk mendapatkan:

$\pi (3^{4+4*3}+4*3-0)=20\pi$

Oleh karena itu, volume benda putar yang dihasilkan oleh memutar bentuk dua dimensi yang terbentuk oleh grafik fungsi $x^{2+2x}$ dari 0 hingga 3 di sekitar sumbu $x$ adalah $20\pi$.