Menganalisis Nilai dari \( \lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{25 x^{2}+9 x-16}-5(3+x) \)

Dalam matematika, kita sering dihadapkan pada masalah mencari nilai batas dari suatu fungsi saat variabel mendekati tak hingga. Salah satu contoh masalah ini adalah mencari nilai dari \( \lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{25 x^{2}+9 x-16}-5(3+x) \). Dalam artikel ini, kita akan menganalisis masalah ini dan mencari solusinya. Pertama-tama, mari kita perhatikan fungsi yang diberikan. Fungsi ini terdiri dari dua bagian, yaitu akar kuadrat dari ekspresi \( 25 x^{2}+9 x-16 \) dan hasil perkalian antara 5 dan ekspresi \( 3+x \). Kita ingin mencari nilai batas dari fungsi ini saat \( x \) mendekati tak hingga. Untuk memulai analisis, kita dapat menggunakan aturan limit untuk menguraikan fungsi ini menjadi bagian-bagian yang lebih sederhana. Pertama, kita akan fokus pada akar kuadrat. Kita dapat menulis ulang akar kuadrat sebagai \( \sqrt{25 x^{2}+9 x-16} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{1+\frac{9 x}{25 x^{2}}-\frac{16}{25 x^{2}}} \). Dalam limit ini, kita dapat mengabaikan bagian-bagian yang memiliki pangkat lebih rendah dari \( x \), sehingga kita dapat menyederhanakan akar kuadrat menjadi \( 5x \). Selanjutnya, kita akan fokus pada hasil perkalian antara 5 dan ekspresi \( 3+x \). Saat \( x \) mendekati tak hingga, ekspresi \( 3+x \) juga akan mendekati tak hingga. Oleh karena itu, hasil perkalian ini juga akan mendekati tak hingga. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa \( \lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{25 x^{2}+9 x-16}-5(3+x) \) adalah tak hingga. Dalam analisis ini, kita telah menggunakan aturan limit dan sederhana untuk memecahkan masalah ini. Namun, penting untuk diingat bahwa hasil ini hanya berlaku dalam konteks matematika dan tidak memiliki implikasi di dunia nyata.