Contoh Soal SPLTV dan Jawaban dengan Metode yang Tepat

Pendahuluan:

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah topik yang sering diajarkan dalam pelajaran matematika. Dalam artikel ini, kami akan memberikan contoh soal SPLTV beserta jawabannya dengan menggunakan metode yang tepat. Tujuan dari artikel ini adalah untuk membantu siswa memahami konsep SPLTV dan meningkatkan kemampuan mereka dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan topik ini.

Contoh Soal 1:

Tentukanlah solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut ini:

2x + 3y - z = 7

x - 2y + 4z = 1

3x + y + 2z = 5

Pertama-tama, kita dapat menggunakan metode eliminasi untuk menyelesaikan soal ini. Dalam metode eliminasi, kita akan mencoba untuk menghilangkan salah satu variabel dengan menggabungkan persamaan-persamaan tersebut.

Langkah pertama adalah menghilangkan variabel x dari persamaan kedua dan ketiga. Kita dapat mengalikan persamaan kedua dengan 2 dan persamaan ketiga dengan -3 untuk mendapatkan persamaan baru:

2(x - 2y + 4z) = 2(1)

-3(3x + y + 2z) = -3(5)

Setelah mengalikan kedua persamaan tersebut, kita akan mendapatkan:

2x - 4y + 8z = 2

-9x - 3y - 6z = -15

Kemudian, kita akan menambahkan persamaan pertama dengan persamaan baru yang kita dapatkan:

(2x + 3y - z) + (2x - 4y + 8z) = 7 + 2

4x - y + 7z = 9

Sekarang, kita memiliki sistem persamaan baru:

4x - y + 7z = 9

-9x - 3y - 6z = -15

3x + y + 2z = 5

Kita dapat menggunakan metode eliminasi lagi untuk menghilangkan variabel y dari persamaan-persamaan tersebut. Kita akan mengalikan persamaan pertama dengan 3 dan persamaan ketiga dengan 1:

3(4x - y + 7z) = 3(9)

1(3x + y + 2z) = 1(5)

Setelah mengalikan kedua persamaan tersebut, kita akan mendapatkan:

12x - 3y + 21z = 27

3x + y + 2z = 5

Kemudian, kita akan menambahkan persamaan pertama dengan persamaan baru yang kita dapatkan:

(4x - y + 7z) + (12x - 3y + 21z) = 9 + 27

16x + 18z = 36

Sekarang, kita memiliki sistem persamaan baru:

16x + 18z = 36

-9x - 3y - 6z = -15

3x + y + 2z = 5

Selanjutnya, kita akan menggunakan metode eliminasi lagi untuk menghilangkan variabel z dari persamaan-persamaan tersebut. Kita akan mengalikan persamaan pertama dengan 6 dan persamaan ketiga dengan -3:

6(16x + 18z) = 6(36)

-3(3x + y + 2z) = -3(5)

Setelah mengalikan kedua persamaan tersebut, kita akan mendapatkan:

96x + 108z = 216

-9x - 3y - 6z = -15

Kemudian, kita akan menambahkan persamaan pertama dengan persamaan baru yang kita dapatkan:

(16x + 18z) + (96x + 108z) = 36 + 216

112x + 126z = 252

Sekarang, kita memiliki sistem persamaan baru:

112x + 126z = 252

-9x - 3y - 6z = -15

3x + y + 2z = 5

Dalam langkah terakhir, kita akan menggunakan metode eliminasi lagi untuk menghilangkan variabel y dari persamaan-persamaan tersebut. Kita akan mengalikan persamaan kedua dengan 3:

3(-9x - 3y - 6z) = 3(-15)

Setelah mengalikan persamaan tersebut, kita akan mendapatkan:

-27x - 9y - 18z = -45

Kemudian, kita akan menambahkan persamaan pertama dengan persamaan baru yang kita dapatkan:

(112x + 126z) + (-27x - 9y - 18z) = 252 + (-45)

85x + 108z - 9y = 207

Sekarang, kita memiliki sistem persamaan baru:

85x + 108z - 9y = 207

3x + y + 2z = 5

Dalam langkah terakhir, kita akan menyelesaikan sistem persamaan ini dengan menggunakan metode substitusi. Kita akan menyelesaikan persamaan kedua terlebih dahulu untuk mendapatkan nilai y:

y = 5 - 3x - 2z

Kemudian, kita akan substitusikan nilai y ke dalam persamaan pertama:

85x + 108z - 9(5 - 3x - 2z) = 207

Setelah menyederhanakan persamaan tersebut, kita akan mendapatkan:

85x + 108z - 45 + 27x + 18z = 207

112x + 126z = 252

Kemudian, kita akan menggunakan metode eliminasi untuk menghilangkan variabel z dari persamaan-persamaan tersebut. Kita akan mengalikan persamaan pertama dengan 6:

6(112x + 126z) = 6(252)

Setelah mengalikan persamaan tersebut, kita akan mendapatkan:

672x + 756z = 1512

Kemudian, kita akan menambahkan persamaan pertama dengan persamaan baru yang kita dapatkan:

(85x + 108z) + (672x + 756z) = 207 + 1512

757x + 864z = 1719

Sekarang, kita memiliki sistem persamaan baru:

757x + 864z = 1719

Dalam langkah terakhir, kita akan menyelesaikan sistem persamaan ini dengan menggunakan metode substitusi. Kita akan menyelesaikan persamaan kedua terlebih dahulu untuk mendapatkan nilai z:

z = (1719 - 757x) / 864

Dengan menggunakan nilai z yang telah kita dapatkan, kita dapat mencari nilai x dan y dengan substitusi ke dalam persamaan-persamaan sebelumnya.

Kesimpulan:

Dalam artikel ini, kami telah memberikan contoh soal SPLTV beserta jawabannya dengan menggunakan metode yang tepat. Kami berharap artikel ini dapat membantu siswa memahami konsep SPLTV dan meningkatkan kemampuan mereka dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan topik ini.