Menghitung Sudut antara Dua Vektor

Dalam matematika, vektor adalah objek yang memiliki magnitudo dan arah. Sudut antara dua vektor dapat dihitung menggunakan berbagai metode. Dalam artikel ini, kita akan membahas cara menghitung sudut antara dua vektor menggunakan vektor \(a\) dan \(b\) dengan nilai \(a=\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)\) dan \(b=\left(\begin{array}{c}1 \\ 3 \\ 1\end{array}\right)\). a. Nilai dari \(2a\) dan \(\frac{2}{3}b\) Untuk menghitung nilai dari \(2a\) dan \(\frac{2}{3}b\), kita dapat mengalikan setiap komponen vektor dengan skalar yang diberikan. Dalam hal ini, kita akan mengalikan setiap komponen vektor \(a\) dengan 2 dan setiap komponen vektor \(b\) dengan \(\frac{2}{3}\). Hasilnya adalah: \(2a = \left(\begin{array}{l}6 \\ 4 \\ 4\end{array}\right)\) \(\frac{2}{3}b = \left(\begin{array}{c}\frac{2}{3} \\ 2 \\ \frac{2}{3}\end{array}\right)\) b. Nilai \(\cos a\) Untuk menghitung nilai \(\cos a\), kita dapat menggunakan rumus: \(\cos a = \frac{a \cdot b}{\|a\| \cdot \|b\|}\) Di mana \(a \cdot b\) adalah hasil perkalian dot antara vektor \(a\) dan \(b\), dan \(\|a\|\) dan \(\|b\|\) adalah magnitudo dari vektor \(a\) dan \(b\) masing-masing. Dalam hal ini, kita memiliki: \(a \cdot b = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 9\) \(\|a\| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{17}\) \(\|b\| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{11}\) Menggantikan nilai-nilai ini ke dalam rumus, kita dapat menghitung nilai \(\cos a\): \(\cos a = \frac{9}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{11}}\) c. Nilai \(\sin a\) Untuk menghitung nilai \(\sin a\), kita dapat menggunakan rumus: \(\sin a = \sqrt{1 - \cos^2 a}\) Menggantikan nilai \(\cos a\) yang telah kita hitung sebelumnya, kita dapat menghitung nilai \(\sin a\): \(\sin a = \sqrt{1 - \left(\frac{9}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{11}}\right)^2}\) d. Nilai \(\tan a\) Untuk menghitung nilai \(\tan a\), kita dapat menggunakan rumus: \(\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}\) Menggantikan nilai \(\sin a\) dan \(\cos a\) yang telah kita hitung sebelumnya, kita dapat menghitung nilai \(\tan a\): \(\tan a = \frac{\sqrt{1 - \left(\frac{9}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{11}}\right)^2}}{\frac{9}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{11}}}\) Dalam artikel ini, kita telah membahas cara menghitung sudut antara dua vektor menggunakan vektor \(a\) dan \(b\) dengan nilai \(a=\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)\) dan \(b=\left(\begin{array}{c}1 \\ 3 \\ 1\end{array}\right)\). Kita telah menghitung nilai dari \(2a\) dan \(\frac{2}{3}b\), nilai \(\cos a\), nilai \(\sin a\), dan nilai \(\tan a\). Semoga artikel ini bermanfaat dan membantu pemahaman Anda tentang menghitung sudut antara dua vektor.