Mengapa \( \cos 2A = \frac{m^2 - 1}{m^2} \) jika \( \sin A = \frac{1}{m} \)?

Dalam matematika, terdapat hubungan yang erat antara fungsi trigonometri sin dan cos. Salah satu hubungan ini adalah antara sin A dan cos 2A. Dalam artikel ini, kita akan menjelaskan mengapa \( \cos 2A = \frac{m^2 - 1}{m^2} \) jika \( \sin A = \frac{1}{m} \). Pertama-tama, mari kita tinjau definisi dari sin A dan cos 2A. Sin A didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan panjang sisi sejajar sudut A terhadap sudut siku-siku. Dalam hal ini, sin A = \(\frac{1}{m}\), yang berarti bahwa panjang sisi miring segitiga siku-siku adalah \(\frac{1}{m}\). Selanjutnya, cos 2A didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi sejajar sudut 2A terhadap panjang sisi miring segitiga siku-siku. Dalam hal ini, kita ingin menentukan nilai dari cos 2A jika sin A = \(\frac{1}{m}\). Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan identitas trigonometri yang dikenal sebagai identitas Pythagoras. Identitas Pythagoras menyatakan bahwa dalam segitiga siku-siku, kuadrat dari panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat dari panjang sisi sejajar sudut siku-siku dan panjang sisi tegak sudut siku-siku. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan identitas Pythagoras untuk menentukan panjang sisi sejajar sudut 2A. Dengan menggunakan identitas Pythagoras, kita dapat menulis: \((\frac{1}{m})^2 = (\frac{1}{m^2}) + x^2\) Di mana x adalah panjang sisi sejajar sudut 2A. Dengan menyederhanakan persamaan ini, kita dapat menulis: \(\frac{1}{m^2} = \frac{1}{m^2} + x^2\) Dalam hal ini, kita dapat mengurangi kedua sisi persamaan dengan \(\frac{1}{m^2}\), sehingga kita mendapatkan: 0 = x^2 Dari sini, kita dapat menyimpulkan bahwa panjang sisi sejajar sudut 2A adalah 0. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa \( \cos 2A = \frac{m^2 - 1}{m^2} \) jika \( \sin A = \frac{1}{m} \). Dalam kesimpulan, kita telah membuktikan bahwa \( \cos 2A = \frac{m^2 - 1}{m^2} \) jika \( \sin A = \frac{1}{m} \). Hal ini dapat dijelaskan dengan menggunakan identitas Pythagoras dan hubungan antara sin A dan cos 2A dalam segitiga siku-siku.