Memahami Perbandingan Bilangan Akar

Dalam matematika, perbandingan bilangan akar sering kali menjadi topik yang menarik untuk dipelajari. Dalam artikel ini, kita akan membahas tiga pernyataan yang terkait dengan perbandingan bilangan akar dan mencari tahu mana yang benar. Pernyataan pertama adalah \(2 \sqrt{2}<\sqrt{3}\). Pernyataan ini melibatkan perbandingan antara akar kuadrat dari 2 dan akar kuadrat dari 3. Untuk memeriksa kebenarannya, kita dapat mengkuadratkan kedua sisi pernyataan ini. Jika \(2 \sqrt{2}<\sqrt{3}\) benar, maka \(4 \cdot 2 < 3\). Namun, ini tidak benar karena 8 tidak kurang dari 3. Oleh karena itu, pernyataan pertama tidak benar. Pernyataan kedua adalah \(\frac{1}{2} \sqrt{5}<\sqrt{2,5}\). Pernyataan ini melibatkan perbandingan antara setengah dari akar kuadrat dari 5 dan akar kuadrat dari 2,5. Untuk memeriksa kebenarannya, kita dapat mengkuadratkan kedua sisi pernyataan ini. Jika \(\frac{1}{2} \sqrt{5}<\sqrt{2,5}\) benar, maka \(\frac{1}{4} \cdot 5 < 2,5\). Kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi \(\frac{5}{4} < 2,5\), yang benar. Oleh karena itu, pernyataan kedua benar. Pernyataan ketiga adalah \(\sqrt[2]{5}-\sqrt{3}=\sqrt{2}\). Pernyataan ini melibatkan perbedaan antara akar kuadrat dari 5 dan akar kuadrat dari 3, yang kemudian dibandingkan dengan akar kuadrat dari 2. Untuk memeriksa kebenarannya, kita dapat mengkuadratkan kedua sisi pernyataan ini. Jika \(\sqrt[2]{5}-\sqrt{3}=\sqrt{2}\) benar, maka \((\sqrt[2]{5}-\sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2\). Setelah menyederhanakan persamaan ini, kita mendapatkan \(5 - 2\sqrt{15} + 3 = 2\). Jika kita menyederhanakan lebih lanjut, kita mendapatkan \(8 - 2\sqrt{15} = 2\). Namun, ini tidak benar karena 6 tidak sama dengan 2. Oleh karena itu, pernyataan ketiga tidak benar. Berdasarkan analisis di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa pernyataan kedua, yaitu \(\frac{1}{2} \sqrt{5}<\sqrt{2,5}\), adalah yang benar. Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah B. 1 dan 3.