Memahami dan Menyederhanakan Pecahan Aljabar

Pecahan aljabar adalah konsep penting dalam matematika yang sering digunakan dalam berbagai aplikasi. Salah satu tugas yang sering dihadapi siswa adalah menyederhanakan pecahan aljabar yang kompleks. Dalam artikel ini, kita akan membahas cara menyederhanakan pecahan aljabar dengan contoh spesifik \( \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \). Pertama-tama, mari kita pahami apa arti dari pecahan aljabar ini. Pecahan aljabar terdiri dari ekspresi aljabar di atas garis pecahan dan di bawah garis pecahan. Dalam contoh kita, kita memiliki \( \sqrt{7}-\sqrt{5} \) di atas garis pecahan dan \( \sqrt{7}+\sqrt{5} \) di bawah garis pecahan. Langkah pertama dalam menyederhanakan pecahan aljabar ini adalah menghilangkan akar kuadrat di bawah garis pecahan. Untuk melakukannya, kita akan menggunakan konsep konjugat. Konjugat dari suatu ekspresi aljabar adalah ekspresi yang sama dengan ekspresi asli, kecuali tanda operasi di tengah berubah. Dalam contoh kita, konjugat dari \( \sqrt{7}+\sqrt{5} \) adalah \( \sqrt{7}-\sqrt{5} \). Ketika kita mengalikan pecahan aljabar dengan konjugatnya, kita dapat menghilangkan akar kuadrat di bawah garis pecahan. Dalam contoh kita, kita akan mengalikan \( \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \) dengan \( \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} \). Hasilnya adalah \( \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})} \). Dalam langkah berikutnya, kita akan menyederhanakan ekspresi di atas dan di bawah garis pecahan. Di atas garis pecahan, kita dapat menggunakan aturan distribusi untuk mengalikan ekspresi dalam tanda kurung. Dalam contoh kita, hasilnya adalah \( (\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5}) = 7-2\sqrt{35}+5 \). Di bawah garis pecahan, kita juga dapat menggunakan aturan distribusi untuk mengalikan ekspresi dalam tanda kurung. Dalam contoh kita, hasilnya adalah \( (\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5}) = 7-2\sqrt{35}+5 \). Sekarang, kita dapat menyederhanakan pecahan aljabar kita dengan membagi ekspresi di atas garis pecahan dengan ekspresi di bawah garis pecahan. Dalam contoh kita, hasilnya adalah \( \frac{7-2\sqrt{35}+5}{7-2\sqrt{35}+5} \). Akhirnya, kita dapat menyederhanakan pecahan aljabar ini dengan membagi setiap suku dengan faktor yang sama. Dalam contoh kita, kita dapat membagi setiap suku dengan \( 7-2\sqrt{35}+5 \). Hasil akhirnya adalah \( 1 \). Dalam artikel ini, kita telah membahas cara menyederhanakan pecahan aljabar yang kompleks dengan contoh spesifik \( \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \). Dengan menggunakan konsep konjugat dan aturan distribusi, kita dapat menyederhanakan pecahan aljabar ini menjadi \( 1 \).