Menganalisis Batas Fungsi \( \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \)

Dalam matematika, batas fungsi adalah konsep yang penting dalam menganalisis perilaku suatu fungsi saat variabel mendekati suatu nilai tertentu. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \) dan mencoba untuk memahami apa yang terjadi saat \( x \) mendekati 3. Pertama-tama, mari kita evaluasi fungsi ini secara langsung saat \( x \) mendekati 3. Jika kita mencoba untuk menggantikan \( x \) dengan 3, kita akan mendapatkan bentuk yang tidak terdefinisi, yaitu \( \frac{0}{0} \). Namun, kita dapat menggunakan teknik manipulasi aljabar untuk menyederhanakan fungsi ini. Kita dapat memulai dengan mengalikan kedua bagian atas dan bawah dengan konjugat dari akar kuadrat, yaitu \( \sqrt{x}+\sqrt{3} \). Dengan melakukan ini, kita akan mendapatkan bentuk yang lebih sederhana, yaitu \( \frac{(x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3})}{(\sqrt{x}-\sqrt{3})(\sqrt{x}+\sqrt{3})} \). Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan fungsi ini dengan mengalikan kedua bagian atas dan bawah. Setelah melakukan ini, kita akan mendapatkan bentuk yang lebih sederhana lagi, yaitu \( \frac{(x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3})}{x-3} \). Sekarang, kita dapat membatalkan faktor \( x-3 \) pada bagian atas dan bawah fungsi. Setelah melakukan ini, kita akan mendapatkan bentuk yang sangat sederhana, yaitu \( \sqrt{x}+\sqrt{3} \). Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa \( \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} = \sqrt{3}+\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \). Dalam analisis ini, kita telah menggunakan teknik manipulasi aljabar untuk menyederhanakan fungsi dan menemukan batasnya. Namun, penting untuk diingat bahwa batas fungsi ini hanya berlaku saat \( x \) mendekati 3, dan tidak berlaku saat \( x \) sama dengan 3. Dalam matematika, batas fungsi adalah konsep yang penting dalam menganalisis perilaku suatu fungsi saat variabel mendekati suatu nilai tertentu. Dalam artikel ini, kita telah menganalisis batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \) dan menemukan bahwa batasnya adalah \( 2\sqrt{3} \).