Mencari Batas dari Persamaan \( \lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2}+2}-\sqrt{x+2} \)

Dalam matematika, kita seringkali dihadapkan pada masalah mencari batas dari suatu persamaan saat variabel mendekati tak hingga. Salah satu contoh persamaan yang sering muncul adalah \( \lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2}+2}-\sqrt{x+2} \). Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana mencari batas dari persamaan ini dan bagaimana menginterpretasikan hasilnya. Pertama-tama, mari kita perhatikan persamaan \( \lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2}+2}-\sqrt{x+2} \). Untuk mencari batas dari persamaan ini saat \( x \) mendekati tak hingga, kita dapat menggunakan aturan limit dan sifat-sifat akar kuadrat. Pertama, kita dapat menyederhanakan persamaan tersebut dengan mengalikan dan membagi dengan konjugat dari setiap akar kuadrat. Dengan melakukan ini, kita mendapatkan persamaan baru: \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(x^{2}+2)-(x+2)}{\sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{x+2}} \) Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan mengalikan dan membagi dengan \( \sqrt{x^{2}} \) pada pembilang dan penyebut. Setelah melakukan ini, kita mendapatkan persamaan baru: \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-x}{\sqrt{x^{2}}(\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}})+\sqrt{x}(\sqrt{1+\frac{2}{x}})} \) Ketika \( x \) mendekati tak hingga, kita dapat mengabaikan suku-suku yang memiliki pangkat lebih rendah daripada suku dengan pangkat tertinggi. Dalam hal ini, suku \( -x \) pada pembilang dapat diabaikan, dan suku \( \frac{2}{x^{2}} \) dan \( \frac{2}{x} \) pada akar kuadrat dapat diabaikan. Dengan melakukan ini, kita mendapatkan persamaan baru: \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}}{x(\sqrt{1})+\sqrt{x}(\sqrt{1})} \) Sekarang, kita dapat menyederhanakan persamaan ini lebih lanjut dengan membagi setiap suku dengan \( x \). Setelah melakukan ini, kita mendapatkan persamaan baru: \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{x}} \) Terakhir, kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan menggabungkan suku-suku yang sama. Setelah melakukan ini, kita mendapatkan persamaan baru: \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x}{2\sqrt{x}} \) Sekarang, kita dapat mencari batas dari persamaan ini saat \( x \) mendekati tak hingga. Kita dapat menggunakan aturan limit untuk mencari batas ini. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan aturan limit \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x}{\sqrt{x}} = \infty \). Oleh karena itu, batas dari persamaan \( \lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2}+2}-\sqrt{x+2} \) adalah tak hingga. Dalam konteks matematika, hasil ini dapat diinterpretasikan sebagai persamaan tersebut tidak memiliki batas yang terdefinisi saat \( x \) mendekati tak hingga. Hal ini menunjukkan bahwa persamaan tersebut tumbuh tanpa batas saat \( x \) mendekati tak hingga. Dalam kesimpulan, kita telah membahas bagaimana mencari batas dari persamaan \( \lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2}+2}-\sqrt{x+2} \) dan menginterpretasikan hasilnya. Hasilnya menunjukkan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki batas yang terdefinisi saat \( x \) mendekati tak hingga.