Menentukan Nilai K dan P dalam Persamaan Polinomial dengan Akar yang Diketahui

Dalam pertanyaan ini, kita diberikan persamaan polinomial $4x^{4}+kx^{3}-10x^{2}+Px+12=0$ dan diberitahu bahwa akar-akarnya adalah -4, 2, a, dan B. Kita diminta untuk menentukan nilai k dan P. Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan sifat akar persamaan polinomial. Jika akar-akar persamaan polinomial diberikan sebagai r, s, t, dan u,amaan polinomial dapat ditulis dalam bentuk: $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ Di mana a, b, c, d, dan e adalah koefisien persamaan polinomial. Dalam hal ini, kita tahu bahwa akar-akar persamaan polinomial adalah -4, 2, a, dan B. Oleh karena itu, kita dapat menulis persamaan polinomial dalam bentuk: $4x^{4}+kx^{3}-10x^{2}+Px+12=0$ Kita dapat menggunakan fakta bahwa jika r adalah akar persamaan polinomial, maka $(x-r)$ adalah faktor persamaan polinomial. Dengan demikian, kita dapat menulis persamaan polinomial dalam bentuk faktorisasi: $4(x+4)(x-2)(x-a)(x-B)=0$ Kita dapat mengembangkan persamaan ini untuk menemukan nilai k dan P. Mengembangkan $(x+4)(x-2)(x-a)(x-B)$, kita dapatkan: $4(x^2-2x+4x-8)(x-a)(x-B)$ $=4(x^2+2x-8)(x-a)(x-B)$ $=4(x^3+2x^2-8x-16)(x-a)(x-B)$ Kita dapat mengembangkan lebih lanjut untuk menemukan nilai k dan P. Mengembangkan $(x^3+2x^2-8x-16)(x-a)$, kita dapatkan: $(x^4+2x^3-8x^2-16x)(x-a)$ $=x^4+2x^3-8x^2-16x-ax^3-2ax^2+8ax+16a$ $=x^4+(2-a)x^3+(-8+8a)x^2+(-16+16a)x+16a$ Mengembangkan lagi dengan $(x-B)$, kita dapatkan: $x^4+(2-a)x^3+(-8+8a)x^2+(-16+16a)x+16a$ $+x^3(2-a)x^2+(-8+8a)x^2+(-16+16a)x+16a$ $+x^2(2-a)x+(-8+8a)x+(-16+16a)$ $+x(2-a)x+(-8+8a)x+(-16+16a)$ $+2-ax+(-8+8a)$ Kita dapat mengidentifikasi koefisien dari setiap suku dan membandingkannya dengan koefisien dalam persamaan polinomial asli. Dengan demikian, kita dapat menentukan nilai k dan P. Dengan membandingkan koefisien, kita dapatkan: $k = 2-a$ $P = -16+16a$ Dengan memasukkan nilai a dan B yang diketahui, kita dapat menentukan nilai k dan P. Dengan demikian, kita dapat menentukan nilai k dan P dalam persamaan polinomial dengan akar yang diketahui.