Rasionalisasi Bentuk Aljabar \( \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \)

Dalam matematika, rasionalisasi adalah proses menghilangkan akar kuadrat di denominasi suatu pecahan. Salah satu contoh yang sering muncul adalah rasionalisasi bentuk aljabar \( \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \). Dalam artikel ini, kita akan membahas langkah-langkah untuk merasionalisasi bentuk aljabar ini dan mengapa hal ini penting dalam matematika. Pertama-tama, mari kita lihat bentuk aljabar \( \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \). Untuk merasionalisasi bentuk ini, kita perlu menghilangkan akar kuadrat di denominasi. Untuk melakukannya, kita akan menggunakan konjugat dari denominasi, yaitu \( \sqrt{7}-\sqrt{5} \) dan \( \sqrt{7}+\sqrt{5} \). Langkah pertama adalah mengalikan numerasi dan denominasi dengan konjugat dari denominasi. Dalam hal ini, konjugat dari \( \sqrt{7}+\sqrt{5} \) adalah \( \sqrt{7}-\sqrt{5} \). Jadi, kita akan mengalikan numerasi dan denominasi dengan \( \sqrt{7}-\sqrt{5} \). \( \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} \) Sekarang, mari kita selesaikan perkalian ini: \( \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})} \) \( \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{5})^2}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2} \) \( \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{5})^2}{7-5} \) \( \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{5})^2}{2} \) Sekarang, kita dapat menyederhanakan bentuk aljabar ini: \( \frac{(\sqrt{7})^2-2(\sqrt{7})(\sqrt{5})+(\sqrt{5})^2}{2} \) \( \frac{7-2\sqrt{35}+5}{2} \) \( \frac{12-2\sqrt{35}}{2} \) \( 6-\sqrt{35} \) Jadi, bentuk rasional dari \( \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \) adalah \( 6-\sqrt{35} \). Rasionalisasi bentuk aljabar ini penting dalam matematika karena memungkinkan kita untuk melakukan operasi matematika lebih lanjut dengan mudah. Dalam beberapa kasus, bentuk rasional juga memberikan pemahaman yang lebih baik tentang hubungan antara variabel dalam suatu persamaan. Dalam kesimpulan, rasionalisasi bentuk aljabar \( \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \) melibatkan penghilangan akar kuadrat di denominasi dengan mengalikan numerasi dan denominasi dengan konjugat dari denominasi. Hasil akhirnya adalah \( 6-\sqrt{35} \). Rasionalisasi bentuk aljabar ini penting dalam matematika karena memudahkan operasi matematika lebih lanjut dan memberikan pemahaman yang lebih baik tentang hubungan antara variabel.