Menentukan Nilai \( a \) yang Memenuhi Persamaan Komposisi

Dalam matematika, fungsi komposisi adalah operasi yang menggabungkan dua fungsi menjadi satu fungsi baru. Dalam soal ini, kita diberikan dua fungsi, \( f \) dan \( g \), dan kita diminta untuk menentukan nilai \( a \) yang memenuhi persamaan komposisi \( (f \circ g)(3) = 61 \). Pertama, mari kita tinjau fungsi \( f \). Dalam soal ini, kita diberikan bahwa \( f(x-2) = 3x^2 - 16x + 26 \). Ini berarti bahwa jika kita menggantikan \( x \) dengan \( x-2 \) dalam fungsi \( f \), kita akan mendapatkan ekspresi \( 3(x-2)^2 - 16(x-2) + 26 \). Selanjutnya, mari kita tinjau fungsi \( g \). Dalam soal ini, kita diberikan bahwa \( g(x) = ax - 1 \). Ini berarti bahwa jika kita menggantikan \( x \) dengan \( 3 \) dalam fungsi \( g \), kita akan mendapatkan ekspresi \( a(3) - 1 \). Sekarang, kita dapat menggabungkan kedua fungsi ini dalam persamaan komposisi \( (f \circ g)(3) \). Dalam hal ini, kita menggantikan \( x \) dalam fungsi \( f \) dengan ekspresi \( g(3) \). Oleh karena itu, persamaan komposisi menjadi \( f(g(3)) = 61 \). Mari kita substitusikan ekspresi \( g(3) \) ke dalam fungsi \( f \). Kita mendapatkan \( f(a(3) - 1) = 61 \). Sekarang, kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan menggantikan \( f \) dengan ekspresi \( 3(x-2)^2 - 16(x-2) + 26 \). Kita memiliki \( 3(a(3) - 1 - 2)^2 - 16(a(3) - 1 - 2) + 26 = 61 \). Sekarang, kita dapat menyelesaikan persamaan ini untuk mencari nilai \( a \) yang memenuhi. Setelah menyederhanakan dan menghitung, kita akan mendapatkan persamaan kuadrat \( 9a^2 - 9a + 1 = 0 \). Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini, kita dapat menggunakan rumus kuadrat. Setelah menghitung, kita akan mendapatkan dua solusi \( a = \frac{1}{9} \) dan \( a = \frac{8}{9} \). Namun, kita perlu memeriksa solusi ini untuk memastikan bahwa mereka memenuhi persamaan komposisi awal. Jika kita substitusikan \( a = \frac{1}{9} \) ke dalam persamaan komposisi, kita akan mendapatkan \( f(g(3)) = 3(\frac{1}{9}(3) - 1 - 2)^2 - 16(\frac{1}{9}(3) - 1 - 2) + 26 = 61 \). Namun, setelah menghitung, kita akan melihat bahwa persamaan ini tidak benar. Jadi, solusi yang memenuhi persamaan komposisi \( (f \circ g)(3) = 61 \) adalah \( a = \frac{8}{9} \).