Pembuktian \( (A \cup B) \cap\left(A^{c} \cap B^{C}\right)=0 \)

Dalam matematika, terdapat konsep himpunan yang merupakan kumpulan objek atau elemen yang memiliki karakteristik tertentu. Dalam konteks ini, kita akan membahas tentang dua himpunan, yaitu \( A \) dan \( B \). Tugas kita adalah untuk membuktikan bahwa \( (A \cup B) \cap\left(A^{c} \cap B^{C}\right)=0 \). Untuk membuktikan pernyataan ini, kita akan menggunakan beberapa konsep dasar dalam teori himpunan. Pertama, mari kita definisikan beberapa notasi yang akan kita gunakan dalam pembuktian ini. \( A \cup B \) merupakan himpunan gabungan dari \( A \) dan \( B \), yang berarti himpunan ini berisi semua elemen yang ada di \( A \) atau \( B \) atau keduanya. \( A^{c} \) dan \( B^{C} \) masing-masing merupakan komplemen dari \( A \) dan \( B \), yang berarti himpunan ini berisi semua elemen yang tidak ada di \( A \) atau \( B \). Sekarang, mari kita lihat bagaimana membuktikan \( (A \cup B) \cap\left(A^{c} \cap B^{C}\right)=0 \). Untuk membuktikan ini, kita perlu membuktikan bahwa himpunan ini tidak berisi elemen apa pun, atau dalam kata lain, himpunan ini kosong. Pertama, kita akan membuktikan bahwa \( (A \cup B) \cap\left(A^{c} \cap B^{C}\right) \subset \emptyset \). Ini berarti bahwa setiap elemen yang ada di \( (A \cup B) \cap\left(A^{c} \cap B^{C}\right) \) juga ada di himpunan kosong. Namun, karena himpunan kosong tidak memiliki elemen, maka pernyataan ini benar. Selanjutnya, kita perlu membuktikan bahwa \( \emptyset \subset (A \cup B) \cap\left(A^{c} \cap B^{C}\right) \). Ini berarti bahwa himpunan kosong adalah subset dari \( (A \cup B) \cap\left(A^{c} \cap B^{C}\right) \). Karena himpunan kosong tidak memiliki elemen, maka tidak ada elemen yang tidak ada di himpunan kosong yang juga ada di \( (A \cup B) \cap\left(A^{c} \cap B^{C}\right) \). Oleh karena itu, pernyataan ini juga benar. Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa \( (A \cup B) \cap\left(A^{c} \cap B^{C}\right)=0 \), yang berarti bahwa himpunan ini kosong atau tidak berisi elemen apa pun. Dalam konteks kehidupan sehari-hari, pembuktian ini dapat diilustrasikan dengan contoh sederhana. Misalkan \( A \) adalah himpunan orang yang suka makanan pedas, dan \( B \) adalah himpunan orang yang suka makanan manis. \( A \cup B \) akan menjadi himpunan orang yang suka makanan pedas atau manis atau keduanya. Namun, \( A^{c} \cap B^{C} \) akan menjadi himpunan orang yang tidak suka makanan pedas dan tidak suka makanan manis. Jika kita menggabungkan kedua himpunan ini, kita akan mendapatkan himpunan kosong, yang berarti tidak ada orang yang tidak suka makanan pedas dan tidak suka makanan manis. Dalam kesimpulan, kita telah berhasil membuktikan bahwa \( (A \cup B) \cap\left(A^{c} \cap B^{C}\right)=0 \), yang menunjukkan bahwa himpunan ini kosong atau tidak berisi elemen apa pun.