Penyelesaian Pertidaksamaan \( \frac{x^{2}+3}{x^{2}-x-2}>1 \)

Pertidaksamaan \( \frac{x^{2}+3}{x^{2}-x-2}>1 \) memiliki himpunan penyelesaian yang terdiri dari \( \{x \leq-1 \) atau \( x>2\} \). Penyelesaian pertidaksamaan ini dapat ditemukan dengan menggunakan metode pemecahan pertidaksamaan. Pertama, kita perlu mencari titik-titik kritis di mana ekspresi \( \frac{x^{2}+3}{x^{2}-x-2} \) sama dengan 1. Titik-titik ini adalah titik di mana ekspresi berubah dari lebih kecil dari 1 menjadi lebih besar dari 1. Untuk mencari titik-titik kritis, kita perlu menyelesaikan persamaan \( \frac{x^{2}+3}{x^{2}-x-2}=1 \). Dengan menyederhanakan persamaan ini, kita dapat mengubahnya menjadi \( x^{2}+3=x^{2}-x-2 \). Setelah menyederhanakan lebih lanjut, kita mendapatkan \( x=-1 \) dan \( x=2 \). Sekarang, kita dapat membagi himpunan bilangan real menjadi tiga interval: \( (-\infty,-1) \), \( (-1,2) \), dan \( (2,\infty) \). Kita perlu memeriksa nilai-nilai dalam setiap interval untuk menentukan apakah ekspresi \( \frac{x^{2}+3}{x^{2}-x-2} \) lebih besar dari 1 atau tidak. Dalam interval \( (-\infty,-1) \), kita dapat memilih nilai uji \( x=-2 \). Jika kita menggantikan nilai ini ke dalam ekspresi, kita mendapatkan \( \frac{(-2)^{2}+3}{(-2)^{2}-(-2)-2}=\frac{7}{10} \), yang lebih kecil dari 1. Oleh karena itu, interval ini tidak termasuk dalam himpunan penyelesaian. Dalam interval \( (-1,2) \), kita dapat memilih nilai uji \( x=0 \). Jika kita menggantikan nilai ini ke dalam ekspresi, kita mendapatkan \( \frac{0^{2}+3}{0^{2}-0-2}=\frac{3}{-2} \), yang lebih besar dari 1. Oleh karena itu, interval ini termasuk dalam himpunan penyelesaian. Dalam interval \( (2,\infty) \), kita dapat memilih nilai uji \( x=3 \). Jika kita menggantikan nilai ini ke dalam ekspresi, kita mendapatkan \( \frac{3^{2}+3}{3^{2}-3-2}=\frac{12}{4} \), yang lebih besar dari 1. Oleh karena itu, interval ini termasuk dalam himpunan penyelesaian. Dengan demikian, himpunan penyelesaian pertidaksamaan \( \frac{x^{2}+3}{x^{2}-x-2}>1 \) adalah \( \{x \leq-1 \) atau \( x>2\} \).