Buktikan bahwa pernyataan di bawah ini benar untuk n bilangan asli

Dalam artikel ini, kita akan membuktikan bahwa pernyataan berikut ini benar untuk n bilangan asli: $3+9+13+\ldots +(4n-1)=2n^{2}+n$ Pertama-tama, mari kita lihat pola yang terbentuk dari deret ini. Jika kita perhatikan dengan seksama, kita dapat melihat bahwa setiap suku dalam deret ini adalah bilangan ganjil. Selain itu, setiap suku berbeda dengan suku sebelumnya dengan selisih 4. Misalnya, suku pertama adalah 3, suku kedua adalah 9 (3 + 4), suku ketiga adalah 13 (9 + 4), dan seterusnya. Sekarang, mari kita coba buktikan pernyataan ini dengan menggunakan metode induksi matematika. Pertama, kita akan membuktikan pernyataan ini untuk n = 1. Ketika n = 1, kita memiliki: $3 = 2(1^{2}) + 1$ $3 = 2 + 1$ $3 = 3$ Pernyataan ini benar untuk n = 1. Selanjutnya, kita akan asumsikan bahwa pernyataan ini benar untuk n = k, di mana k adalah bilangan asli apa pun. Dalam hal ini, kita akan asumsikan bahwa: $3+9+13+\ldots +(4k-1)=2k^{2}+k$ Sekarang, kita akan membuktikan pernyataan ini untuk n = k + 1. Ketika n = k + 1, kita memiliki: $3+9+13+\ldots +(4k-1)+(4(k+1)-1)$ Kita dapat menggabungkan suku terakhir dalam deret ini dengan deret sebelumnya: $= (3+9+13+\ldots +(4k-1)) + (4(k+1)-1)$ Dari asumsi kita sebelumnya, kita tahu bahwa: $3+9+13+\ldots +(4k-1)=2k^{2}+k$ Jadi, kita dapat menggantikan ekspresi ini dalam persamaan sebelumnya: $= (2k^{2}+k) + (4(k+1)-1)$ $= 2k^{2}+k + 4k + 4 - 1$ $= 2k^{2}+5k + 3$ Sekarang, mari kita lihat ekspresi yang ada di sebelah kanan pernyataan yang ingin kita buktikan: $2(k+1)^{2}+(k+1)$ $= 2(k^{2}+2k+1)+(k+1)$ $= 2k^{2}+4k+2+k+1$ $= 2k^{2}+5k+3$ Kita dapat melihat bahwa ekspresi di sebelah kanan sama dengan ekspresi di sebelah kiri. Oleh karena itu, pernyataan ini benar untuk n = k + 1. Berdasarkan metode induksi matematika, kita telah membuktikan bahwa pernyataan ini benar untuk semua bilangan asli n. Dalam kesimpulan, kita telah membuktikan bahwa: $3+9+13+\ldots +(4n-1)=2n^{2}+n$ Ini adalah bukti matematis yang menunjukkan bahwa pernyataan ini benar untuk semua bilangan asli n.