Mencari Fungsi \( f(x) \) dari Turunan \( f^{\prime}(x) \) dan Nilai \( F(1) \)

Dalam matematika, terdapat hubungan antara fungsi dan turunannya yang dikenal sebagai teorema dasar kalkulus. Teorema ini menyatakan bahwa jika suatu fungsi \( f(x) \) memiliki turunan \( f^{\prime}(x) \), maka integral dari turunan tersebut akan menghasilkan kembali fungsi aslinya. Dalam hal ini, kita diberikan turunan \( f^{\prime}(x)=-6 x^{2}+4 x-1 \) dan kita diminta untuk mencari fungsi \( f(x) \). Untuk mencari fungsi \( f(x) \), kita perlu melakukan proses kebalikan dari diferensiasi, yaitu integrasi. Dalam hal ini, kita akan menggunakan teorema dasar kalkulus yang menyatakan bahwa integral dari turunan suatu fungsi adalah fungsi aslinya. Oleh karena itu, kita akan mengintegrasikan turunan \( f^{\prime}(x) \) untuk mencari fungsi \( f(x) \). \[ f(x)=\int f^{\prime}(x) d x \] Dalam kasus ini, kita akan mengintegrasikan turunan \( f^{\prime}(x)=-6 x^{2}+4 x-1 \). Untuk melakukan integrasi ini, kita akan menggunakan aturan integrasi yang sesuai dengan bentuk turunan tersebut. Dalam hal ini, kita akan menggunakan aturan integrasi untuk polinomial. Setelah melakukan integrasi, kita akan mendapatkan fungsi \( f(x) \) yang merupakan fungsi asli dari turunan \( f^{\prime}(x) \). Dengan menggunakan aturan integrasi untuk polinomial, kita dapat mengintegrasikan setiap suku turunan secara terpisah. \[ f(x) = \int (-6 x^{2}+4 x-1) d x \] \[ f(x) = -2 x^{3}+2 x^{2}-x + C \] Dalam persamaan di atas, \( C \) adalah konstanta integrasi yang muncul saat kita melakukan integrasi. Konstanta ini dapat memiliki nilai apa pun dan tidak mempengaruhi hasil akhir dari fungsi \( f(x) \). Selanjutnya, kita diberikan informasi bahwa \( F(1)=\zeta \). Untuk mencari nilai \( \zeta \), kita perlu menggantikan \( x \) dengan \( 1 \) dalam fungsi \( f(x) \). \[ F(1) = -2 (1)^{3}+2 (1)^{2}-(1) + C \] \[ \zeta = -2+2-1+C \] \[ \zeta = -1+C \] Dari sini, kita dapat menyimpulkan bahwa nilai \( C \) adalah \( \zeta + 1 \). Oleh karena itu, fungsi \( f(x) \) yang kita cari adalah: \[ f(x) = -2 x^{3}+2 x^{2}-x + (\zeta + 1) \] Dengan demikian, kita telah berhasil mencari fungsi \( f(x) \) dari turunan \( f^{\prime}(x) \) dan nilai \( F(1) \).