Solusi Persamaan Diferensial Linier Orde Pertama \( y^{\prime}-y=e^{11 x} \)

Persamaan diferensial linier orde pertama adalah salah satu topik yang penting dalam matematika. Dalam artikel ini, kita akan membahas solusi dari persamaan diferensial linier orde pertama dengan bentuk \( y^{\prime}-y=e^{11 x} \). Kita akan melihat bagaimana menyelesaikan persamaan ini dan mendapatkan solusi yang tepat. Persamaan diferensial linier orde pertama memiliki bentuk umum \( y^{\prime}+P(x)y=Q(x) \), di mana \( P(x) \) dan \( Q(x) \) adalah fungsi yang diberikan. Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita dapat menggunakan metode faktor integrasi. Dalam kasus persamaan \( y^{\prime}-y=e^{11 x} \), kita dapat mengidentifikasi \( P(x)=-1 \) dan \( Q(x)=e^{11 x} \). Langkah pertama dalam menyelesaikan persamaan ini adalah mencari faktor integrasi. Faktor integrasi diberikan oleh \( e^{\int P(x)dx} \), dalam hal ini \( e^{\int -1dx}=e^{-x} \). Setelah mendapatkan faktor integrasi, kita dapat mengalikan persamaan diferensial dengan faktor integrasi ini. Dalam kasus ini, kita akan mengalikan persamaan dengan \( e^{-x} \). Hasilnya adalah \( e^{-x}y^{\prime}-e^{-x}y=e^{10x} \). Selanjutnya, kita dapat mengintegrasikan kedua sisi persamaan ini. Pada sisi kiri, kita dapat menggunakan aturan rantai untuk mengintegrasikan \( e^{-x}y^{\prime} \), yang menghasilkan \( -e^{-x}y \). Pada sisi kanan, kita dapat mengintegrasikan \( e^{10x} \), yang menghasilkan \( \frac{1}{11}e^{11x} \). Setelah mengintegrasikan kedua sisi, kita dapat menyederhanakan persamaan menjadi \( -e^{-x}y=\frac{1}{11}e^{11x}+C \), di mana \( C \) adalah konstanta integrasi. Langkah terakhir adalah memecahkan persamaan ini untuk \( y \). Dalam kasus ini, kita dapat mengalikan kedua sisi persamaan dengan \( -1 \), sehingga menjadi \( e^{-x}y=-\frac{1}{11}e^{11x}-C \). Kemudian, kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan \( e^{-x} \), sehingga menjadi \( y=-\frac{1}{11}e^{10x}-Ce^{x} \). Jadi, solusi dari persamaan diferensial \( y^{\prime}-y=e^{11 x} \) adalah \( y=-\frac{1}{11}e^{10x}-Ce^{x} \), di mana \( C \) adalah konstanta integrasi. Dalam artikel ini, kita telah membahas solusi dari persamaan diferensial linier orde pertama dengan bentuk \( y^{\prime}-y=e^{11 x} \). Kita telah melihat langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan ini dan mendapatkan solusi yang tepat. Semoga artikel ini bermanfaat dan dapat meningkatkan pemahaman kita tentang persamaan diferensial linier orde pertama.