Penyelesaian Persamaan Diferensial Homogen dengan Transformasi

Persamaan diferensial yang diberikan adalah $(x^{3}+y^{3})dx+3xy^{2}dy=0$. Tugas kita adalah untuk menunjukkan bahwa persamaan diferensial ini adalah homogen dan menyelesaikannya dengan menggunakan transformasi y=ux. Pertama-tama, mari kita lihat apakah persamaan diferensial ini homogen atau tidak. Sebuah persamaan diferensial dikatakan homogen jika semua suku di dalamnya memiliki derajat yang sama. Dalam kasus ini, kita memiliki suku $x^{3}dx$ dan $y^{3}dx$, yang memiliki derajat 3, dan suku $3xy^{2}dy$, yang memiliki derajat 3 juga. Oleh karena itu, persamaan diferensial ini adalah homogen. Selanjutnya, kita akan menggunakan transformasi y=ux untuk menyelesaikan persamaan diferensial ini. Dengan mengganti y dengan ux, persamaan diferensial menjadi $(x^{3}+(ux)^{3})dx+3x(ux)^{2}d(ux)=0$. Kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan mengalikannya dengan $dx$ dan membaginya dengan $x^{3}$. Setelah disederhanakan, persamaan diferensial menjadi $(1+u^{3})dx+3u^{2}d(ux)=0$. Selanjutnya, kita akan mencari turunan parsial dari $ux$ terhadap $x$. Turunan parsial ini dapat ditemukan dengan menggunakan aturan rantai. Turunan parsial dari $ux$ terhadap $x$ adalah $u+u'x$. Kita dapat menggantikan $d(ux)$ dengan turunan parsial ini dalam persamaan diferensial kita. Setelah menggantikan, persamaan diferensial menjadi $(1+u^{3})dx+3u^{2}(u+u'x)=0$. Kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan mengalikannya dengan $dx$ dan membaginya dengan $(1+u^{3})$. Setelah disederhanakan, persamaan diferensial menjadi $dx+3u^{2}(u+u'x)dx=0$. Kita dapat mengelompokkan suku-suku yang memiliki $dx$ dan $u'x$ untuk mendapatkan $dx(1+3u^{2}u')+3u^{2}u\ dx=0$. Kita dapat membagi persamaan ini dengan $dx$ dan membagi suku-suku yang memiliki $u'$ dan $u$ untuk mendapatkan $\frac{1+3u^{2}u'}{u}=0$. Kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan mengalikan kedua sisi dengan $u$ dan membagi dengan $3u^{2}$ untuk mendapatkan $\frac{1}{3u}+\frac{u'}{u^{2}}=0$. Persamaan ini adalah persamaan diferensial yang dapat kita selesaikan dengan metode pemisahan variabel. Kita dapat memisahkan variabel dengan memindahkan suku $\frac{u'}{u^{2}}$ ke sisi kanan dan suku $\frac{1}{3u}$ ke sisi kiri. Setelah memisahkan variabel, persamaan diferensial menjadi $\frac{u'}{u^{2}}=-\frac{1}{3u}$. Kita dapat mengintegrasikan kedua sisi persamaan ini untuk mendapatkan $\int\frac{1}{u^{2}}du=-\int\frac{1}{3u}dx$. Setelah mengintegrasikan, persamaan ini menjadi $-\frac{1}{u}=-\frac{1}{3}\ln|u|+C$, di mana C adalah konstanta integrasi. Kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan mengalikan kedua sisi dengan $-1$ dan membagi dengan $\frac{1}{3}$ untuk mendapatkan $\frac{1}{u}=\frac{1}{3}\ln|u|-C$. Kita dapat membalikkan persamaan ini untuk mendapatkan $u=\frac{1}{\frac{1}{3}\ln|u|-C}$. Terakhir, kita dapat menggantikan kembali $u$ dengan $y/x$ untuk mendapatkan solusi akhir dari persamaan diferensial awal. Solusi akhirnya adalah $y/x=\frac{1}{\frac{1}{3}\ln|y/x|-C}$. Dengan demikian, kita telah menunjukkan bahwa persamaan diferensial $(x^{3}+y^{3})dx+3xy^{2}dy=0$ adalah homogen dan telah menyelesaikannya dengan menggunakan transformasi y=ux. Solusi akhirnya adalah $y/x=\frac{1}{\frac{1}{3}\ln|y/x|-C}$.