Penyelesaian Integral dengan Metode Substitusi

Dalam matematika, integral adalah salah satu konsep yang penting dan sering digunakan dalam berbagai bidang. Integral dapat digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva, menentukan nilai rata-rata, dan banyak lagi. Salah satu metode yang sering digunakan untuk menyelesaikan integral adalah metode substitusi. Metode substitusi adalah teknik yang digunakan untuk mengubah variabel dalam integral sehingga menjadi lebih mudah untuk diselesaikan. Dalam metode substitusi, kita mengganti variabel asli dengan variabel baru yang lebih mudah untuk diintegralkan. Dalam kasus ini, kita akan menggunakan metode substitusi untuk menyelesaikan integral $\int _{0}^{3}\frac {x}{\sqrt {x+1}}dx$. Langkah pertama dalam metode substitusi adalah memilih variabel baru yang akan menggantikan variabel asli. Dalam kasus ini, kita akan menggunakan substitusi $u=x+1$. Dengan mengganti variabel asli dengan variabel baru, integral kita menjadi $\int \frac {u-1}{\sqrt {u}}du$. Langkah berikutnya adalah menghitung diferensial dari variabel baru. Dalam kasus ini, diferensial dari $u$ adalah $du=dx$. Dengan menggantikan diferensial dalam integral, kita mendapatkan $\int \frac {u-1}{\sqrt {u}}du$. Selanjutnya, kita harus mengubah batas integrasi. Dalam kasus ini, batas integrasi kita adalah dari 0 hingga 3. Dengan menggunakan substitusi $u=x+1$, batas integrasi kita menjadi dari 1 hingga 4. Sekarang, kita dapat menyelesaikan integral $\int \frac {u-1}{\sqrt {u}}du$. Dalam kasus ini, integral tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan integral dasar. Setelah menyelesaikan integral, kita mendapatkan $\frac {2}{3}u^{3/2}-2u^{1/2}+c$. Terakhir, kita harus mengganti kembali variabel baru dengan variabel asli. Dalam kasus ini, variabel baru kita adalah $u=x+1$. Dengan mengganti variabel baru, kita mendapatkan $\frac {2}{3}(x+1)^{3/2}-2(x+1)^{1/2}+c$. Untuk menghitung nilai integral $\int _{0}^{3}\frac {x}{\sqrt {x+1}}dx$, kita harus mengganti batas integrasi dengan batas yang baru. Dalam kasus ini, batas integrasi kita adalah dari 0 hingga 3. Dengan menggunakan substitusi $u=x+1$, batas integrasi kita menjadi dari 1 hingga 4. Setelah mengganti batas integrasi, kita dapat menghitung nilai integral $\int _{0}^{3}\frac {x}{\sqrt {x+1}}dx$. Setelah menghitung integral, kita mendapatkan $\frac {2}{3}(4)^{3/2}-2(4)^{1/2}-[\frac {2}{3}(1)^{3/2}-2(1)^{1/2}]$. Setelah melakukan perhitungan, kita mendapatkan hasil akhir $\frac {8}{3}$. Dalam artikel ini, kita telah menggunakan metode substitusi untuk menyelesaikan integral $\int _{0}^{3}\frac {x}{\sqrt {x+1}}dx$. Metode substitusi adalah teknik yang berguna dalam menyelesaikan integral yang sulit. Dengan menggunakan metode substitusi, kita dapat mengubah variabel dalam integral sehingga menjadi lebih mudah untuk diselesaikan.