Rasionalkan penyebut dari \( \frac{3}{5-\sqrt{2}} \)

Dalam matematika, rasionalisasi adalah proses menghilangkan akar kuadrat dari penyebut pecahan. Dalam artikel ini, kita akan membahas cara merasionalkan penyebut dari pecahan \( \frac{3}{5-\sqrt{2}} \). Pertama-tama, mari kita lihat penyebut pecahan ini, yaitu \( 5-\sqrt{2} \). Untuk merasionalkan penyebut ini, kita perlu mengalikan dengan konjugatnya, yaitu \( 5+\sqrt{2} \). Konjugat dari suatu ekspresi adalah ekspresi yang memiliki tanda yang berlawanan di antara suku-sukunya. Jadi, kita dapat mengalikan pecahan \( \frac{3}{5-\sqrt{2}} \) dengan \( \frac{5+\sqrt{2}}{5+\sqrt{2}} \). Dalam hal ini, kita menggunakan sifat identitas perkalian, yang menyatakan bahwa jika kita mengalikan suatu ekspresi dengan pecahan yang memiliki penyebut yang sama, maka hasilnya tetap. Dengan mengalikan pecahan ini, kita mendapatkan \( \frac{3(5+\sqrt{2})}{(5-\sqrt{2})(5+\sqrt{2})} \). Sekarang, kita dapat menyederhanakan ekspresi ini dengan mengalikan suku-suku yang sejajar. Dalam hal ini, \( 3(5+\sqrt{2}) \) dapat disederhanakan menjadi \( 15+3\sqrt{2} \), dan \( (5-\sqrt{2})(5+\sqrt{2}) \) dapat disederhanakan menjadi \( 5^2 - (\sqrt{2})^2 \), yang sama dengan \( 25 - 2 \), atau \( 23 \). Jadi, pecahan \( \frac{3}{5-\sqrt{2}} \) dapat dirasionalkan menjadi \( \frac{15+3\sqrt{2}}{23} \). Dalam kesimpulan, untuk merasionalkan penyebut dari pecahan \( \frac{3}{5-\sqrt{2}} \), kita perlu mengalikan dengan konjugatnya, yaitu \( 5+\sqrt{2} \). Dengan melakukan ini, kita dapat menyederhanakan pecahan menjadi \( \frac{15+3\sqrt{2}}{23} \).