Mencari Fungsi g(x) Berdasarkan Persamaan dan Fungsi yang Diberikan

Dalam soal ini, kita diberikan persamaan $(g^{-1}\circ f^{-1})(x)=\frac {x}{x+2};x

eq -2$ dan fungsi $f(x)=2x$. Tugas kita adalah mencari fungsi $g(x)$ yang sesuai dengan persamaan dan fungsi yang diberikan. Untuk mencari fungsi $g(x)$, kita perlu memahami konsep fungsi invers. Fungsi invers dari suatu fungsi $f(x)$ dinyatakan sebagai $f^{-1}(x)$. Jika kita menggabungkan dua fungsi invers, kita dapat menggunakan notasi $(g^{-1}\circ f^{-1})(x)$. Dalam persamaan yang diberikan, kita memiliki $(g^{-1}\circ f^{-1})(x)=\frac {x}{x+2};x

eq -2$. Ini berarti bahwa fungsi invers dari $g(x)$ dikomposisikan dengan fungsi invers dari $f(x)$ menghasilkan $\frac {x}{x+2}$. Untuk mencari fungsi $g(x)$, kita perlu mencari fungsi invers dari $f(x)$ terlebih dahulu. Fungsi $f(x)=2x$ adalah fungsi linier dengan koefisien kemiringan 2. Untuk mencari fungsi inversnya, kita dapat menukar $x$ dengan $y$ dan memecahkan persamaan untuk $y$. Jadi, jika $y=2x$, kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan 2 untuk mendapatkan $x=\frac{y}{2}$. Kemudian, kita dapat menukar $x$ dengan $y$ untuk mendapatkan fungsi inversnya, yaitu $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$. Sekarang, kita dapat menggunakan fungsi invers $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$ dan persamaan $(g^{-1}\circ f^{-1})(x)=\frac {x}{x+2};x

eq -2$ untuk mencari fungsi $g(x)$. Kita dapat menggabungkan fungsi invers $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$ dengan fungsi invers $g^{-1}(x)$ menggunakan komposisi fungsi. Jadi, $(g^{-1}\circ f^{-1})(x)=g^{-1}(f^{-1}(x))$. Dalam kasus ini, kita memiliki $(g^{-1}\circ f^{-1})(x)=\frac {x}{x+2};x

eq -2$. Jadi, kita dapat menulisnya sebagai $g^{-1}(f^{-1}(x))=\frac {x}{x+2};x

eq -2$. Sekarang, kita perlu mencari fungsi $g^{-1}(x)$ yang sesuai dengan persamaan tersebut. Untuk mencari fungsi $g^{-1}(x)$, kita dapat menukar $x$ dengan $y$ dan memecahkan persamaan untuk $y$. Jadi, jika $y=g^{-1}(x)$, kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan $x$ untuk mendapatkan $\frac{y}{x}=\frac {1}{x+2}$. Kemudian, kita dapat menukar $x$ dengan $y$ untuk mendapatkan fungsi inversnya, yaitu $g^{-1}(x)=\frac {1}{x+2}$. Namun, kita ingin mencari fungsi $g(x)$ bukan fungsi inversnya. Untuk mencari fungsi $g(x)$, kita perlu membalikkan fungsi invers $g^{-1}(x)$. Jadi, kita dapat menukar $x$ dengan $y$ dan memecahkan persamaan untuk $y$. Jadi, jika $y=g(x)$, kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan $x+2$ untuk mendapatkan $\frac{y}{x+2}=\frac {1}{x}$. Kemudian, kita dapat menukar $x$ dengan $y$ untuk mendapatkan fungsi $g(x)$, yaitu $g(x)=\frac {y}{x+2}=\frac {x}{x+2}$. Jadi, fungsi $g(x)$ yang sesuai dengan persamaan dan fungsi yang diberikan adalah $\frac {x}{x+2}$. Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah a. $\frac {x}{4-x}$.