Mengapa |x - a| < ε Sama dengan a - ε < x < a + ε **

Dalam matematika, khususnya dalam analisis real, konsep jarak dan kedekatan sangat penting. Untuk memahami konsep ini, kita sering menggunakan notasi nilai mutlak. Salah satu pernyataan penting yang menghubungkan nilai mutlak dengan jarak adalah: |x - a| < ε jika dan hanya jika a - ε < x < a + ε Pernyataan ini menyatakan bahwa jarak antara x dan a kurang dari ε jika dan hanya jika x terletak di antara a - ε dan a + ε. Untuk memahami mengapa pernyataan ini benar, mari kita analisis kedua arahnya: 1. Jika |x - a| < ε, maka a - ε < x < a + ε: * Definisi Nilai Mutlak: |x - a| mewakili jarak antara x dan a. * Kondisi: |x - a| < ε berarti jarak antara x dan a kurang dari ε. * Interpretasi: Ini berarti x harus berada dalam jarak ε dari a, baik di sebelah kanan maupun kiri a. * Kesimpulan: Oleh karena itu, x harus terletak di antara a - ε dan a + ε, yaitu a - ε < x < a + ε. 2. Jika a - ε < x < a + ε, maka |x - a| < ε: * Kondisi: a - ε < x < a + ε berarti x terletak di antara a - ε dan a + ε. * Interpretasi: Ini berarti x berada dalam jarak ε dari a. * Definisi Nilai Mutlak: Jarak antara x dan a adalah |x - a|. * Kesimpulan: Karena x berada dalam jarak ε dari a, maka |x - a| < ε. Kesimpulan:** Pernyataan |x - a| < ε jika dan hanya jika a - ε < x < a + ε merupakan pernyataan yang penting dalam analisis real. Pernyataan ini menghubungkan konsep nilai mutlak dengan konsep jarak dan kedekatan. Memahami pernyataan ini sangat penting untuk memahami konsep limit, kontinuitas, dan konsep-konsep penting lainnya dalam analisis real.