Solusi Umum Persamaan Differensial Linier Orde Satu

Persamaan differensial linier orde satu adalah jenis persamaan differensial yang paling sederhana. Dalam artikel ini, kita akan mencari solusi umum dari dua persamaan differensial linier orde satu yang diberikan.

Persamaan pertama yang akan kita bahas adalah $\frac {xdy}{dx}+xy+y=e^{-3x}$. Untuk mencari solusi umum dari persamaan ini, kita dapat menggunakan metode faktor integrasi. Pertama, kita akan mencari faktor integrasi dari persamaan ini. Faktor integrasi didefinisikan sebagai fungsi yang dikalikan dengan persamaan differensial untuk mengubahnya menjadi persamaan yang dapat diintegralkan. Dalam kasus ini, faktor integrasi adalah $e^{\int x dx} = e^{\frac{1}{2}x^2}$. Kita akan mengalikan persamaan differensial dengan faktor integrasi ini:

$e^{\frac{1}{2}x^2} \cdot \frac {xdy}{dx}+e^{\frac{1}{2}x^2} \cdot xy+e^{\frac{1}{2}x^2} \cdot y=e^{\frac{1}{2}x^2} \cdot e^{-3x}$

Sekarang, kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan menggunakan aturan perkalian eksponen:

$x \cdot e^{\frac{1}{2}x^2} \cdot \frac {dy}{dx}+xy \cdot e^{\frac{1}{2}x^2}+y \cdot e^{\frac{1}{2}x^2}=e^{-\frac{5}{2}x^2}$

Kita dapat mengamati bahwa persamaan ini dapat disederhanakan menjadi turunan dari produk $xy \cdot e^{\frac{1}{2}x^2}$:

$\frac {d}{dx}(xy \cdot e^{\frac{1}{2}x^2})=e^{-\frac{5}{2}x^2}$

Sekarang, kita dapat mengintegrasikan kedua sisi persamaan ini:

$\int \frac {d}{dx}(xy \cdot e^{\frac{1}{2}x^2})dx=\int e^{-\frac{5}{2}x^2}dx$

Setelah mengintegrasikan, kita mendapatkan:

$xy \cdot e^{\frac{1}{2}x^2}=\int e^{-\frac{5}{2}x^2}dx$

Untuk mengintegrasikan $\int e^{-\frac{5}{2}x^2}dx$, kita dapat menggunakan metode substitusi. Dengan menggunakan substitusi $u=-\frac{5}{2}x^2$, kita dapat mengubah integral ini menjadi:

$\int e^u \cdot \frac{-du}{\frac{5}{2}}$

Setelah mengintegrasikan, kita mendapatkan:

$xy \cdot e^{\frac{1}{2}x^2}=\frac{-2}{5}e^{-\frac{5}{2}x^2}+C$

Di sini, $C$ adalah konstanta integrasi. Sekarang, kita dapat membagi kedua sisi persamaan ini dengan $e^{\frac{1}{2}x^2}$ untuk mendapatkan solusi umum dari persamaan differensial ini:

$xy=\frac{-2}{5}e^{-3x}+Ce^{-\frac{1}{2}x^2}$

Inilah solusi umum dari persamaan differensial $\frac {xdy}{dx}+xy+y=e^{-3x}$.

Selanjutnya, kita akan mencari solusi umum dari persamaan differensial kedua, yaitu $\frac {xdy}{dx}+y+xy^{2}=0$. Untuk mencari solusi umum dari persamaan ini, kita dapat menggunakan metode pemisahan variabel. Pertama, kita akan memisahkan variabel $x$ dan $y$:

$\frac {dy}{y^{2}}=-\frac {dx}{x}$

Sekarang, kita dapat mengintegrasikan kedua sisi persamaan ini:

$\int \frac {dy}{y^{2}}=\int -\frac {dx}{x}$

Setelah mengintegrasikan, kita mendapatkan:

$-\frac {