Barisan Harmonik: Sebuah Bukti bahwa Barisan \( B=\left(b_{n}\right) \) adalah Barisan yang Tidak Terbatas

Barisan harmonik adalah salah satu jenis barisan yang sering muncul dalam matematika. Barisan ini didefinisikan sebagai \( B=\left(b_{n}\right) \), dengan \( b_{n} \) diberikan oleh \[ b_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n} \] Dalam artikel ini, kita akan membuktikan bahwa barisan harmonik \( B \) adalah barisan yang tidak terbatas. Untuk membuktikan bahwa \( B \) adalah barisan yang tidak terbatas, kita akan menggunakan metode kontradiksi. Mari kita asumsikan bahwa \( B \) adalah barisan yang terbatas, yaitu ada batas \( L \) sehingga \( \lim_{n\to\infty} b_{n}=L \). Dalam hal ini, kita dapat menulis \[ L=\lim_{n\to\infty} b_{n}=\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}\right) \] Kita dapat membagi setiap suku dalam tanda kurung dengan \( n \) untuk mendapatkan \[ L=\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n}+\frac{1}{4n}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}\right) \] Kemudian, kita dapat mengambil batas \( n \) ke tak hingga pada setiap suku dalam tanda kurung untuk mendapatkan \[ L=\frac{1}{\infty}+\frac{1}{2\infty}+\frac{1}{3\infty}+\frac{1}{4\infty}+\cdots+\frac{1}{\infty^{2}} \] Namun, kita tahu bahwa \( \frac{1}{n} \) akan mendekati nol saat \( n \) mendekati tak hingga. Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa \[ L=0+0+0+0+\cdots+0=0 \] Namun, ini bertentangan dengan asumsi kita bahwa \( L \) adalah batas dari \( B \). Oleh karena itu, kita harus menyimpulkan bahwa \( B \) adalah barisan yang tidak terbatas. Dalam matematika, barisan yang tidak terbatas sering kali memiliki sifat yang menarik dan dapat digunakan dalam berbagai aplikasi. Dalam kasus barisan harmonik \( B \), kita melihat bahwa jumlah setiap suku dalam barisan meningkat secara bertahap, yang mengarah pada peningkatan tak terbatas dari barisan itu sendiri. Dalam kesimpulan, kita telah membuktikan bahwa barisan harmonik \( B=\left(b_{n}\right) \) dengan \( b_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n} \) adalah barisan yang tidak terbatas.