Membuktikan Vektor (1 5 6) sebagai Kombinasi Linear dari Vektor u=(2 4 0) dan v=(1 -1 3)

Dalam matematika, kombinasi linear adalah konsep yang penting dalam aljabar linier. Dalam artikel ini, kita akan membuktikan bahwa vektor (1 5 6) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor u=(2 4 0) dan v=(1 -1 3). Untuk membuktikan hal ini, kita perlu mencari koefisien a dan b sehingga a*u + b*v = (1 5 6). Dalam hal ini, kita akan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan untuk mencari solusi yang tepat. Langkah pertama adalah membentuk matriks augmented dari vektor u dan v, serta vektor hasil (1 5 6). Matriks augmented ini akan memiliki bentuk sebagai berikut: [2 1 1 | 1] [4 -1 5 | 5] [0 3 6 | 6] Selanjutnya, kita akan menggunakan operasi baris elementer untuk mengubah matriks augmented ini menjadi bentuk matriks eselon tereduksi. Dalam proses ini, kita akan melakukan operasi baris seperti mengalikan baris dengan suatu konstanta, menukar baris, dan menambahkan atau mengurangi baris. Setelah melakukan operasi baris elementer, kita akan mendapatkan matriks eselon tereduksi sebagai berikut: [1 0 1 | 1] [0 1 2 | 2] [0 0 0 | 0] Dari matriks eselon tereduksi ini, kita dapat melihat bahwa terdapat solusi unik untuk sistem persamaan ini. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa vektor (1 5 6) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor u=(2 4 0) dan v=(1 -1 3) dengan koefisien a=1 dan b=2. Dalam konteks dunia nyata, konsep kombinasi linear sering digunakan dalam berbagai bidang seperti fisika, ekonomi, dan ilmu komputer. Misalnya, dalam fisika, vektor-vektor ini dapat mewakili gaya-gaya yang bekerja pada suatu objek, dan dengan menentukan kombinasi linear dari vektor-vektor ini, kita dapat memahami bagaimana objek tersebut bergerak atau berinteraksi dengan lingkungannya. Dalam kesimpulan, kita telah membuktikan bahwa vektor (1 5 6) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor u=(2 4 0) dan v=(1 -1 3) dengan koefisien a=1 dan b=2. Konsep kombinasi linear ini memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang dan memungkinkan kita untuk memahami hubungan antara vektor-vektor dalam ruang.