Membuktikan bahwa $\lim _{Z\rightarrow -2i}\frac {\frac {1}{z}}=-\frac {i}{2}$

Dalam matematika, batas adalah konsep penting yang digunakan untuk menggambarkan perilaku suatu fungsi saat variabel mendekati suatu nilai tertentu. Dalam artikel ini, kita akan membuktikan bahwa batas dari fungsi $\frac {\frac {1}{z}}{-\frac {i}{2}}$ saat $z$ mendekati $-2i$ adalah $-\frac {i}{2}$. Untuk membuktikan hal ini, kita akan menggunakan definisi formal dari batas. Menurut definisi, $\lim _{Z\rightarrow -2i}\frac {\frac {1}{z}}{-\frac {i}{2}}$ adalah $-\frac {i}{2}$ jika untuk setiap $\epsilon > 0$, ada $\delta > 0$ sehingga jika $0 < |z - (-2i)| < \delta$, maka $|\frac {\frac {1}{z}}{-\frac {i}{2}} - (-\frac {i}{2})| < \epsilon$. Mari kita mulai dengan mengambil $\epsilon > 0$. Kita perlu menemukan $\delta > 0$ yang memenuhi persyaratan di atas. Untuk melakukan ini, kita akan menggunakan aljabar sederhana. Misalkan $z = x + yi$, di mana $x$ dan $y$ adalah bilangan real. Kita dapat menulis ulang $\frac {\frac {1}{z}}{-\frac {i}{2}}$ sebagai $\frac {-2}{i} \cdot \frac {1}{z}$. Dengan mengalikan kedua bagian dengan $\frac {i}{i}$, kita dapat menyederhanakan ekspresi menjadi $\frac {2i}{z}$. Sekarang, kita dapat menulis ulang $|z - (-2i)|$ sebagai $|(x + yi) - (-2i)|$, yang sama dengan $|(x + 2i) + yi|$. Dengan menggunakan ketidaksamaan segitiga, kita dapat menyederhanakan ekspresi menjadi $|x + 2i| + |y|$. Kembali ke persyaratan batas, kita ingin menemukan $\delta > 0$ sehingga jika $0 < |z - (-2i)| < \delta$, maka $|\frac {2i}{z} - (-\frac {i}{2})| < \epsilon$. Dengan menggunakan ketidaksamaan segitiga lagi, kita dapat menyederhanakan ekspresi menjadi $|\frac {2i}{z} + \frac {i}{2}| < \epsilon$. Sekarang, kita dapat menggunakan ketidaksamaan segitiga untuk menyederhanakan ekspresi menjadi $|\frac {4i + z}{2z}| < \epsilon$. Dengan mengalikan kedua bagian dengan $|2z|$, kita dapat menyederhanakan ekspresi menjadi $|4i + z| < 2\epsilon|z|$. Karena kita ingin menemukan $\delta > 0$ yang memenuhi persyaratan di atas, kita dapat membatasi $|4i + z|$ dengan $|4i| + |z|$, yang sama dengan $4 + |z|$. Dengan demikian, kita dapat menyederhanakan persyaratan menjadi $4 + |z| < 2\epsilon|z|$. Sekarang, kita dapat membagi kedua bagian dengan $|z|$ (asalkan $|z|

eq 0$) dan menyederhanakan persyaratan menjadi $4 + \frac {|z|}{|z|} < 2\epsilon$. Karena $|z|

eq 0$, kita dapat menyederhanakan persyaratan menjadi $4 + 1 < 2\epsilon$, yang sama dengan $5 < 2\epsilon$. Dengan membagi kedua bagian dengan 2, kita dapat menyederhanakan persyaratan menjadi $2.5 < \epsilon$. Oleh karena itu, kita dapat mengambil $\delta = 2.5$. Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa $\lim _{Z\rightarrow -2i}\frac {\frac {1}{z}}{-\frac {i}{2}} = -\frac {i}{2}$ berdasarkan definisi formal batas.