Konstruksi Himpunan H sebagai Ring Komutatif dan Penentuan Keberadaan RTPN

Himpunan \( \mathrm{H} \) terdiri dari dua elemen, yaitu \( \mathrm{H} = (0, \mathrm{~b}) \). Dalam artikel ini, kita akan membahas konstruksi \( \mathrm{H} \) sehingga \( \mathrm{H} \) menjadi ring komutatif. Selain itu, kita juga akan menentukan apakah \( \mathrm{H} \) memiliki RTPN (ring tanpa pembagi nol). Jika tidak, kita akan membahas apakah \( \mathrm{H} \) merupakan integral domain. Untuk memulai, mari kita lihat konstruksi \( \mathrm{H} \) sebagai ring komutatif. Dalam rangka mencapai ini, kita perlu memastikan bahwa \( \mathrm{H} \) memenuhi semua properti yang diperlukan untuk menjadi ring komutatif. Pertama, kita harus memastikan bahwa operasi penjumlahan dan perkalian pada \( \mathrm{H} \) memenuhi sifat komutatif. Dalam hal ini, kita memiliki dua elemen dalam \( \mathrm{H} \), yaitu 0 dan \( \mathrm{~b} \). Untuk operasi penjumlahan, kita dapat melihat bahwa \( 0 + 0 = 0 \) dan \( 0 + \mathrm{~b} = \mathrm{~b} \). Kita juga dapat melihat bahwa \( \mathrm{~b} + 0 = \mathrm{~b} \) dan \( \mathrm{~b} + \mathrm{~b} = 0 \). Dengan demikian, operasi penjumlahan pada \( \mathrm{H} \) adalah komutatif. Selanjutnya, kita perlu memastikan bahwa operasi perkalian pada \( \mathrm{H} \) juga komutatif. Dalam hal ini, kita dapat melihat bahwa \( 0 \cdot 0 = 0 \) dan \( 0 \cdot \mathrm{~b} = 0 \). Kita juga dapat melihat bahwa \( \mathrm{~b} \cdot 0 = 0 \) dan \( \mathrm{~b} \cdot \mathrm{~b} = \mathrm{~b} \). Dengan demikian, operasi perkalian pada \( \mathrm{H} \) juga komutatif. Dengan demikian, kita telah berhasil mengkonstruksi \( \mathrm{H} \) sebagai ring komutatif. Selanjutnya, kita akan menentukan apakah \( \mathrm{H} \) memiliki RTPN atau tidak. Untuk menentukan ini, kita perlu memeriksa apakah ada elemen non-nol dalam \( \mathrm{H} \) yang tidak memiliki pembagi nol. Dalam hal ini, kita hanya memiliki dua elemen dalam \( \mathrm{H} \), yaitu 0 dan \( \mathrm{~b} \). Kita dapat melihat bahwa \( 0 \) adalah elemen nol dalam \( \mathrm{H} \), yang berarti \( 0 \) adalah pembagi nol. Namun, \( \mathrm{~b} \) tidak memiliki pembagi nol lain selain \( 0 \). Oleh karena itu, \( \mathrm{H} \) tidak memiliki RTPN. Terakhir, kita akan membahas apakah \( \mathrm{H} \) merupakan integral domain. Untuk menjadi integral domain, \( \mathrm{H} \) harus memenuhi dua syarat: tidak ada pembagi nol dan tidak ada elemen yang dapat dibagi oleh nol. Dalam hal ini, kita telah menunjukkan bahwa \( \mathrm{H} \) memiliki pembagi nol, yaitu \( 0 \). Oleh karena itu, \( \mathrm{H} \) tidak dapat dianggap sebagai integral domain. Dalam kesimpulan, kita telah berhasil mengkonstruksi \( \mathrm{H} \) sebagai ring komutatif, namun tidak memiliki RTPN dan tidak dapat dianggap sebagai integral domain.