Analisis Limit \(\lim _{x \rightarrow 0}=\frac{\tan x}{x(x+2)}\)

Dalam matematika, limit adalah konsep yang penting dalam mempelajari perilaku fungsi saat variabel mendekati suatu nilai tertentu. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis limit dari fungsi \(\frac{\tan x}{x(x+2)}\) saat \(x\) mendekati 0. Pertama-tama, mari kita evaluasi limit ini menggunakan metode substitusi langsung. Jika kita mencoba menggantikan \(x\) dengan 0, kita akan mendapatkan bentuk yang tidak terdefinisi, yaitu \(\frac{\tan 0}{0(0+2)}\). Namun, kita tahu bahwa \(\tan 0\) adalah 0, sehingga kita dapat menyederhanakan limit ini menjadi \(\frac{0}{0}\). Limit \(\frac{0}{0}\) adalah bentuk yang tidak terdefinisi dalam matematika. Namun, kita dapat menggunakan teknik lain, seperti aturan L'Hopital, untuk menyelesaikan limit ini. Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika kita memiliki limit \(\frac{f(x)}{g(x)}\) yang menghasilkan bentuk \(\frac{0}{0}\) atau \(\frac{\infty}{\infty}\), maka limit tersebut sama dengan limit dari turunan fungsi-fungsi tersebut. Dalam kasus ini, kita memiliki limit \(\frac{\tan x}{x(x+2)}\) yang menghasilkan bentuk \(\frac{0}{0}\). Kita dapat mengambil turunan dari fungsi-fungsi ini untuk mencari limitnya. Turunan dari \(\tan x\) adalah \(\sec^2 x\) dan turunan dari \(x(x+2)\) adalah \(2x+2\). Jadi, limit \(\lim _{x \rightarrow 0}=\frac{\tan x}{x(x+2)}\) sama dengan limit \(\lim _{x \rightarrow 0}=\frac{\sec^2 x}{2x+2}\). Sekarang, kita dapat mencoba menggantikan \(x\) dengan 0 dalam limit baru ini. Jika kita melakukannya, kita akan mendapatkan bentuk \(\frac{\sec^2 0}{2(0)+2}\), yang dapat disederhanakan menjadi \(\frac{1}{2}\). Jadi, limit \(\lim _{x \rightarrow 0}=\frac{\tan x}{x(x+2)}\) adalah \(\frac{1}{2}\). Dalam artikel ini, kita telah menganalisis limit dari fungsi \(\frac{\tan x}{x(x+2)}\) saat \(x\) mendekati 0. Dengan menggunakan aturan L'Hopital, kita dapat menyelesaikan limit ini dan mendapatkan hasilnya, yaitu \(\frac{1}{2}\). Limit ini memiliki aplikasi yang luas dalam matematika dan fisika, dan pemahaman tentang konsep ini sangat penting dalam mempelajari lebih lanjut tentang fungsi dan perhitungan.