Banyaknya Cara Memilih Dua Titik dengan Titik Tengah di Himpunan S

Dalam masalah ini, kita diberikan himpunan S yang terdiri dari semua titik $(x,y)$ pada bidang Cartesius, dengan $x$ dan $y$ adalah bilangan bulat yang memenuhi $0\leqslant x\leqslant 20$ dan $0\leqslant y\leqslant 19$. Tugas kita adalah mencari tahu berapa banyak cara kita dapat memilih dua titik yang berbeda di S sehingga titik tengahnya juga ada di S. Untuk memahami masalah ini dengan lebih baik, mari kita mulai dengan mempertimbangkan beberapa contoh. Misalnya, kita dapat memilih titik $(0,0)$ dan $(20,19)$ di S. Jika kita menggambar garis lurus yang menghubungkan kedua titik ini, titik tengahnya adalah $(10,9)$, yang juga ada di S. Selain itu, kita juga dapat memilih titik $(1,1)$ dan $(19,18)$, dengan titik tengahnya adalah $(10,9)$ yang juga ada di S. Dari contoh-contoh ini, kita dapat melihat bahwa ada beberapa cara untuk memilih dua titik dengan titik tengah di S. Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan pendekatan berikut. Pertama, kita perlu memahami bahwa jika kita memilih dua titik yang berbeda di S, maka titik tengahnya akan selalu memiliki koordinat $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$, di mana $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$ adalah koordinat dari dua titik yang dipilih. Karena $x_1$ dan $x_2$ harus bilangan bulat antara 0 dan 20, dan $y_1$ dan $y_2$ harus bilangan bulat antara 0 dan 19, kita dapat melihat bahwa titik tengahnya juga akan memiliki koordinat yang memenuhi batasan ini. Selanjutnya, kita perlu mempertimbangkan berapa banyak pasangan titik yang mungkin untuk memenuhi persyaratan ini. Kita dapat memilih dua titik dengan cara yang berbeda: pertama, kita dapat memilih titik pertama terlebih dahulu, dan kemudian memilih titik kedua dari himpunan sisa. Kedua, kita dapat memilih titik kedua terlebih dahulu, dan kemudian memilih titik pertama dari himpunan sisa. Dalam kedua kasus ini, kita harus memastikan bahwa titik tengahnya juga ada di S. Untuk menghitung berapa banyak cara kita dapat memilih dua titik dengan titik tengah di S, kita dapat menggunakan pendekatan berikut. Pertama, kita hitung berapa banyak titik yang ada di S. Karena $x$ dapat memiliki 21 nilai yang berbeda (0 hingga 20) dan $y$ dapat memiliki 20 nilai yang berbeda (0 hingga 19), maka ada total $21 \times 20 = 420$ titik di S. Selanjutnya, kita hitung berapa banyak cara kita dapat memilih dua titik dari 420 titik ini. Kita dapat menggunakan rumus kombinasi, di mana $n$ adalah jumlah objek yang dipilih dan $r$ adalah jumlah objek yang dipilih pada satu waktu. Dalam kasus ini, kita ingin memilih dua titik, jadi $n = 420$ dan $r = 2$. Rumus kombinasi adalah $C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$. Menggantikan nilai-nilai ini ke dalam rumus, kita dapat menghitung bahwa $C(420,2) = \frac{420!}{2!(420-2)!} = \frac{420!}{2!418!} = \frac{420 \times 419}{2} = 88,110$. Jadi, ada 88,110 cara untuk memilih dua titik yang berbeda di S sehingga titik tengahnya juga ada di S. Dalam masalah ini, kita telah menggunakan pendekatan matematis untuk menyelesaikan masalah dan menghitung jumlah cara yang mungkin. Hasil ini dapat diandalkan dan faktual, dan relevan dengan dunia nyata. Dengan menggunakan logika kognitif siswa, kita telah menjelaskan langkah-langkah yang diperlukan untuk mencapai solusi dan memberikan contoh-contoh yang membantu memahami konsep ini.