Menentukan Koordinat Titik Pusat dan Panjang Jari-jari Lingkaran dengan Persamaan Lingkaran

Dalam matematika, lingkaran adalah himpunan semua titik yang memiliki jarak yang sama dari titik pusat. Untuk menentukan koordinat titik pusat dan panjang jari-jari lingkaran, kita perlu menggunakan persamaan lingkaran. Persamaan lingkaran umum adalah \(x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0\), di mana \(D\) dan \(E\) adalah koefisien dari \(x\) dan \(y\), dan \(F\) adalah konstanta. Dalam kasus ini, kita diberikan persamaan lingkaran \(2x^{2} + 2y^{2} - 8x + 12y - 24 = 0\). Untuk menentukan koordinat titik pusat dan panjang jari-jari lingkaran, kita perlu mengubah persamaan ini menjadi bentuk yang lebih sederhana. Langkah pertama adalah membagi persamaan dengan koefisien \(2\) untuk menyederhanakan persamaan menjadi \(x^{2} + y^{2} - 4x + 6y - 12 = 0\). Selanjutnya, kita perlu melengkapi kuadrat sempurna untuk \(x\) dan \(y\). Untuk \(x\), kita dapat menambahkan \((\frac{-4}{2})^{2} = 4\) ke kedua sisi persamaan, sehingga persamaan menjadi \(x^{2} - 4x + 4 + y^{2} + 6y - 12 = 4\). Kemudian, kita dapat menulis ulang persamaan ini sebagai \((x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16\). Sekarang persamaan lingkaran berada dalam bentuk yang lebih sederhana. Dari persamaan ini, kita dapat melihat bahwa titik pusat lingkaran adalah \((2, -3)\) dan panjang jari-jari lingkaran adalah \(\sqrt{16} = 4\). Jadi, koordinat titik pusat lingkaran adalah \((2, -3)\) dan panjang jari-jari lingkaran adalah \(4\).