Membuktikan \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\operatorname{sos}^{2}(x-1)}{4 x^{2}-8 x+4} \)

Dalam matematika, kita sering dihadapkan pada masalah mencari batas suatu fungsi saat variabel mendekati suatu nilai tertentu. Salah satu contoh masalah ini adalah mencari batas fungsi \( \frac{\sin y}{y} \) saat \( y \) mendekati 0. Hasilnya diketahui bahwa batas ini adalah 1. Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana menggunakan pengetahuan ini untuk membuktikan batas fungsi \( \frac{\operatorname{sos}^{2}(x-1)}{4 x^{2}-8 x+4} \) saat \( x \) mendekati 1. Pertama, mari kita lihat fungsi \( \frac{\operatorname{sos}^{2}(x-1)}{4 x^{2}-8 x+4} \). Fungsi ini terdiri dari dua bagian: \( \operatorname{sos}^{2}(x-1) \) dan \( 4 x^{2}-8 x+4 \). Pertama-tama, kita akan membahas bagian pertama, yaitu \( \operatorname{sos}^{2}(x-1) \). Fungsi ini merupakan kuadrat dari fungsi sinus osilasi, yang berarti nilainya selalu positif. Oleh karena itu, kita dapat menganggap bahwa fungsi ini tidak akan mempengaruhi batas saat \( x \) mendekati 1. Selanjutnya, kita akan membahas bagian kedua, yaitu \( 4 x^{2}-8 x+4 \). Fungsi ini merupakan fungsi kuadrat dengan koefisien positif, yang berarti nilai-nilainya akan meningkat saat \( x \) mendekati 1. Oleh karena itu, kita dapat menganggap bahwa fungsi ini akan mempengaruhi batas saat \( x \) mendekati 1. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa batas fungsi \( \frac{\operatorname{sos}^{2}(x-1)}{4 x^{2}-8 x+4} \) saat \( x \) mendekati 1 adalah sama dengan batas fungsi \( \operatorname{sos}^{2}(x-1) \) saat \( x \) mendekati 1. Namun, kita telah mengetahui bahwa batas fungsi \( \frac{\sin y}{y} \) saat \( y \) mendekati 0 adalah 1. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan hasil ini untuk membuktikan bahwa batas fungsi \( \operatorname{sos}^{2}(x-1) \) saat \( x \) mendekati 1 adalah juga 1. Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\operatorname{sos}^{2}(x-1)}{4 x^{2}-8 x+4} = 1 \). Dalam artikel ini, kita telah membahas bagaimana menggunakan pengetahuan tentang batas fungsi \( \frac{\sin y}{y} \) saat \( y \) mendekati 0 untuk membuktikan batas fungsi \( \frac{\operatorname{sos}^{2}(x-1)}{4 x^{2}-8 x+4} \) saat \( x \) mendekati 1.