Fungsi Injektif: Pengertian, Sifat, dan Contoh dalam Matematika

Fungsi injektif merupakan konsep penting dalam matematika yang menggambarkan hubungan khusus antara elemen dalam dua himpunan. Fungsi injektif, juga dikenal sebagai fungsi satu-satu, memastikan bahwa setiap elemen dalam domain dipetakan ke elemen yang berbeda dalam kodomain. Pemahaman tentang fungsi injektif sangat penting dalam berbagai bidang matematika, seperti aljabar, kalkulus, dan teori himpunan. Artikel ini akan membahas pengertian fungsi injektif, sifat-sifatnya, dan contoh-contohnya dalam matematika.

Pengertian Fungsi Injektif

Fungsi injektif adalah fungsi yang memetakan setiap elemen dalam domain ke elemen yang berbeda dalam kodomain. Dengan kata lain, tidak ada dua elemen berbeda dalam domain yang dipetakan ke elemen yang sama dalam kodomain. Secara formal, fungsi f: A → B disebut injektif jika dan hanya jika untuk setiap a1, a2 ∈ A, jika f(a1) = f(a2), maka a1 = a2.

Sifat-Sifat Fungsi Injektif

Fungsi injektif memiliki beberapa sifat penting yang membedakannya dari fungsi lainnya. Berikut adalah beberapa sifat utama fungsi injektif:

* Keunikan Pemetaan: Setiap elemen dalam domain dipetakan ke elemen yang unik dalam kodomain.

* Tidak Ada Pemetaan Ganda: Tidak ada dua elemen berbeda dalam domain yang dipetakan ke elemen yang sama dalam kodomain.

* Invers: Fungsi injektif memiliki fungsi invers yang juga merupakan fungsi injektif.

* Monotonisitas: Fungsi injektif dapat bersifat monotonik naik atau monotonik turun.

Contoh Fungsi Injektif

Berikut adalah beberapa contoh fungsi injektif:

* Fungsi f(x) = x + 2: Fungsi ini memetakan setiap bilangan real x ke bilangan real x + 2. Karena setiap bilangan real memiliki hasil yang berbeda, fungsi ini adalah injektif.

* Fungsi g(x) = x²: Fungsi ini memetakan setiap bilangan real x ke kuadratnya. Karena setiap bilangan real memiliki kuadrat yang berbeda, fungsi ini adalah injektif.

* Fungsi h(x) = sin(x): Fungsi ini memetakan setiap bilangan real x ke sinusnya. Karena sinus memiliki nilai yang berbeda untuk setiap sudut yang berbeda dalam interval tertentu, fungsi ini adalah injektif dalam interval tersebut.

Kesimpulan

Fungsi injektif merupakan konsep penting dalam matematika yang menggambarkan hubungan khusus antara elemen dalam dua himpunan. Fungsi injektif memastikan bahwa setiap elemen dalam domain dipetakan ke elemen yang berbeda dalam kodomain. Sifat-sifat fungsi injektif, seperti keunikan pemetaan, tidak ada pemetaan ganda, dan keberadaan invers, membuatnya menjadi alat yang berguna dalam berbagai bidang matematika. Contoh-contoh fungsi injektif yang diberikan dalam artikel ini menunjukkan bagaimana konsep ini diterapkan dalam praktik. Pemahaman tentang fungsi injektif sangat penting untuk memahami konsep-konsep matematika yang lebih kompleks, seperti fungsi bijektif dan fungsi surjektif.