Menentukan Nilai dari \( \tan 2 \mathrm{~A} \) dengan Mengetahui \( \sin \mathrm{A} = \frac{3}{5} \)

Dalam matematika, terdapat berbagai macam fungsi trigonometri yang digunakan untuk menghitung hubungan antara sudut dan panjang sisi dalam segitiga. Salah satu fungsi trigonometri yang sering digunakan adalah tangen (tan). Dalam artikel ini, kita akan mencari nilai dari \( \tan 2 \mathrm{~A} \) dengan mengetahui bahwa \( \sin \mathrm{A} = \frac{3}{5} \). Sebelum kita melangkah lebih jauh, mari kita ingat kembali definisi dari fungsi trigonometri. Dalam segitiga siku-siku, sin adalah rasio antara panjang sisi yang berlawanan dengan sudut tertentu dengan panjang sisi miring. Dalam hal ini, kita diberikan bahwa \( \sin \mathrm{A} = \frac{3}{5} \). Untuk mencari nilai dari \( \tan 2 \mathrm{~A} \), kita perlu menggunakan rumus trigonometri yang sesuai. Rumus yang digunakan adalah \( \tan 2 \mathrm{~A} = \frac{2 \tan \mathrm{~A}}{1 - \tan^2 \mathrm{~A}} \). Namun, sebelum kita dapat menggunakan rumus ini, kita perlu mencari nilai dari \( \tan \mathrm{~A} \). Untuk mencari nilai dari \( \tan \mathrm{~A} \), kita dapat menggunakan rumus trigonometri lainnya. Rumus yang digunakan adalah \( \tan \mathrm{~A} = \frac{\sin \mathrm{~A}}{\cos \mathrm{~A}} \). Dalam hal ini, kita sudah diberikan nilai dari \( \sin \mathrm{A} = \frac{3}{5} \). Namun, kita belum diberikan nilai dari \( \cos \mathrm{~A} \). Untuk mencari nilai dari \( \cos \mathrm{~A} \), kita dapat menggunakan rumus trigonometri lainnya. Rumus yang digunakan adalah \( \cos \mathrm{~A} = \sqrt{1 - \sin^2 \mathrm{~A}} \). Dalam hal ini, kita sudah diberikan nilai dari \( \sin \mathrm{A} = \frac{3}{5} \). Dengan menggunakan rumus ini, kita dapat mencari nilai dari \( \cos \mathrm{~A} \). \( \cos \mathrm{~A} = \sqrt{1 - \sin^2 \mathrm{~A}} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25}{25} - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \) Dengan mengetahui nilai dari \( \sin \mathrm{A} = \frac{3}{5} \) dan \( \cos \mathrm{~A} = \frac{4}{5} \), kita dapat mencari nilai dari \( \tan \mathrm{~A} \) menggunakan rumus \( \tan \mathrm{~A} = \frac{\sin \mathrm{~A}}{\cos \mathrm{~A}} \). \( \tan \mathrm{~A} = \frac{\sin \mathrm{~A}}{\cos \mathrm{~A}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{4} = \frac{3}{4} \) Sekarang kita sudah memiliki nilai dari \( \tan \mathrm{~A} = \frac{3}{4} \). Dengan menggunakan rumus \( \tan 2 \mathrm{~A} = \frac{2 \tan \mathrm{~A}}{1 - \tan^2 \mathrm{~A}} \), kita dapat mencari nilai dari \( \tan 2 \mathrm{~A} \). \( \tan 2 \mathrm{~A} = \frac{2 \tan \mathrm{~A}}{1 - \tan^2 \mathrm{~A}} = \frac{2 \times \frac{3}{4}}{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{2 \times \frac{3}{4}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{2 \times \frac{3}{4}}{\frac{16}{16} - \frac{9}{16}} = \frac{2 \times \frac{3}{4}}{\frac{7}{16}} = \frac{3}{4} \times \frac{16}{7} = \frac{48}{28} = \frac{12}{7} \) Jadi, nilai dari \( \tan 2 \mathrm{~A} \) dengan mengetahui \( \sin \mathrm{A} = \frac{3}{5} \) adalah \( \frac{12}{7} \).