Membahas Batas Fungsi dengan Pendekatan Nilai Tak Hingg

Dalam matematika, batas fungsi adalah konsep penting yang digunakan untuk mempelajari perilaku suatu fungsi saat variabel independennya mendekati suatu nilai tertentu. Dalam artikel ini, kita akan membahas batas fungsi dengan pendekatan nilai tak hingga, dengan fokus pada contoh spesifik yang diberikan. Pertama-tama, mari kita lihat contoh fungsi yang diberikan dalam kebutuhan artikel ini: \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{t^{2} \sin \frac{1}{x}}{3 t-1} \). Dalam kasus ini, kita ingin mengetahui nilai batas fungsi ini saat \( x \) mendekati 0. Untuk memahami batas fungsi dengan pendekatan nilai tak hingga, kita perlu melihat perilaku fungsi ini saat \( x \) mendekati 0 dari kedua sisi. Misalnya, saat \( x \) mendekati 0 dari sisi positif, kita dapat menggantikan \( x \) dengan nilai-nilai yang semakin mendekati 0, seperti 0,1, 0,01, 0,001, dan seterusnya. Dengan melakukan ini, kita dapat mengamati perubahan dalam nilai fungsi dan melihat apakah ada pola yang terbentuk. Sekarang, mari kita aplikasikan pendekatan nilai tak hingga pada fungsi yang diberikan. Saat \( x \) mendekati 0 dari sisi positif, kita dapat menggantikan \( x \) dengan \( \frac{1}{t} \), karena kita ingin melihat perilaku fungsi saat \( x \) mendekati 0. Dengan melakukan substitusi ini, fungsi menjadi \( \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{t^{2} \sin t}{3 t-1} \). Selanjutnya, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital untuk menyelesaikan batas ini. Aturan L'Hopital memungkinkan kita untuk mengambil turunan dari pembilang dan penyebut fungsi dan mengulangi proses ini sampai kita mendapatkan hasil yang dapat ditentukan. Dalam kasus ini, kita dapat mengambil turunan dari pembilang dan penyebut fungsi dan mendapatkan \( \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{2t \sin t + t^{2} \cos t}{3} \). Dengan menggunakan aturan L'Hopital sekali lagi, kita dapat mengambil turunan dari pembilang dan penyebut fungsi dan mendapatkan \( \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{2 \sin t + 2t \cos t + 2t \cos t - t^{2} \sin t}{3} \). Melanjutkan proses ini, kita dapat mengambil turunan lagi dan mendapatkan \( \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{4 \cos t + 4 \cos t - 4t \sin t - 2t^{2} \cos t}{3} \). Dengan mengambil turunan terakhir, kita dapat menghilangkan variabel \( t \) dan mendapatkan \( \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{8 \cos t - 4 \sin t}{3} \). Sekarang, kita dapat melihat bahwa batas fungsi ini tidak memiliki nilai yang ditentukan saat \( t \) mendekati tak hingga. Ini menunjukkan bahwa fungsi ini tidak konvergen saat \( x \) mendekati 0. Dalam kesimpulan, kita telah membahas batas fungsi dengan pendekatan nilai tak hingga, dengan fokus pada contoh spesifik yang diberikan dalam kebutuhan artikel ini. Kita melihat bahwa fungsi \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{t^{2} \sin \frac{1}{x}}{3 t-1} \) tidak memiliki nilai batas saat \( x \) mendekati 0.