Membahas Nilai dari \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{6 x}{2 \sin x+\sin 2 x} \)

Dalam matematika, kita sering dihadapkan pada masalah mencari nilai batas suatu fungsi saat variabel mendekati suatu titik tertentu. Salah satu contoh yang menarik adalah mencari nilai dari \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{6 x}{2 \sin x+\sin 2 x} \). Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana cara menghitung nilai batas ini dan apa artinya dalam konteks matematika. Pertama-tama, mari kita lihat fungsi yang diberikan. Fungsi ini terdiri dari pecahan dengan pembilang \(6x\) dan penyebut \(2\sin x + \sin 2x\). Ketika kita mencoba menghitung nilai batas ini secara langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu \( \frac{0}{0} \), yang tidak memberikan jawaban yang jelas. Namun, dengan menggunakan beberapa teknik aljabar, kita dapat menyederhanakan fungsi ini menjadi bentuk yang lebih mudah untuk dihitung. Pertama, kita dapat membagi pembilang dan penyebut dengan \(x\), sehingga kita mendapatkan \( \frac{6}{2\frac{\sin x}{x} + \frac{\sin 2x}{x}} \). Kemudian, kita dapat menggunakan sifat dasar trigonometri yang menyatakan bahwa \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \). Dengan menggunakan sifat ini, kita dapat menyederhanakan fungsi menjadi \( \frac{6}{2(1) + \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2x}{x}} \). Sekarang, kita perlu mencari nilai dari \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2x}{x} \). Kita dapat menggunakan teknik lain yang disebut aturan L'Hopital untuk menghitung nilai ini. Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika kita memiliki bentuk tak tentu \( \frac{0}{0} \) atau \( \frac{\infty}{\infty} \), kita dapat mengambil turunan dari pembilang dan penyebut secara terpisah dan menghitung nilai batas turunan tersebut. Dalam kasus ini, kita dapat mengambil turunan dari pembilang dan penyebut, sehingga kita mendapatkan \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2\cos 2x}{1} \). Ketika kita menggantikan \(x\) dengan \(0\), kita mendapatkan \( \frac{2\cos 0}{1} = 2\). Kembali ke fungsi awal, kita sekarang memiliki \( \frac{6}{2(1) + 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\). Jadi, nilai dari \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{6 x}{2 \sin x+\sin 2 x} \) adalah \( \frac{3}{2}\). Dalam konteks matematika, nilai batas ini memiliki arti penting. Ini menunjukkan bahwa saat \(x\) mendekati \(0\), fungsi tersebut mendekati nilai \( \frac{3}{2}\). Ini dapat digunakan dalam berbagai aplikasi, seperti dalam perhitungan integral atau dalam mempelajari sifat-sifat fungsi trigonometri. Dalam kesimpulan, kita telah membahas cara menghitung nilai dari \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{6 x}{2 \sin x+\sin 2 x} \) dan apa artinya dalam konteks matematika. Nilai batas ini adalah \( \frac{3}{2}\) dan memiliki arti penting dalam matematika.