Persamaan Kuadrat dengan Akar-Akar $\frac {3}{2}$ dan $-\frac {2}{3}$

Persamaan kuadrat adalah bentuk persamaan matematika yang memiliki variabel dengan pangkat tertinggi dua. Persamaan kuadrat umumnya ditulis dalam bentuk $ax^2 + bx + c = 0$, di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta dan $x$ adalah variabel. Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah dengan mencari akar-akarnya, yaitu nilai-nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut. Dalam kasus ini, kita diberikan bahwa akar-akar persamaan kuadrat adalah $\frac {3}{2}$ dan $-\frac {2}{3}$. Dengan informasi ini, kita dapat mencari persamaan kuadrat yang sesuai. Untuk mencari persamaan kuadrat dengan akar-akar yang diberikan, kita dapat menggunakan rumus dasar persamaan kuadrat. Rumus tersebut adalah $x = \frac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah koefisien dalam persamaan kuadrat. Mari kita mulai dengan mencari nilai $a$, $b$, dan $c$ berdasarkan akar-akar yang diberikan. Jika $\frac {3}{2}$ adalah akar persamaan kuadrat, maka kita dapat menggantikan $x$ dengan $\frac {3}{2}$ dalam persamaan kuadrat umum. Hal yang sama berlaku untuk akar $-\frac {2}{3}$. Dengan melakukan substitusi ini, kita dapat membentuk dua persamaan: 1. $\left(\frac {3}{2}\right)^2 + b \left(\frac {3}{2}\right) + c = 0$ 2. $\left(-\frac {2}{3}\right)^2 + b \left(-\frac {2}{3}\right) + c = 0$ Sekarang, kita dapat menyederhanakan persamaan-persamaan ini dan mencari nilai $a$, $b$, dan $c$. 1. $\frac {9}{4} + \frac {3}{2}b + c = 0$ 2. $\frac {4}{9} - \frac {2}{3}b + c = 0$ Dari persamaan (1), kita dapat mengurangi $\frac {9}{4}$ dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $\frac {3}{2}b + c = -\frac {9}{4}$. Dari persamaan (2), kita dapat mengurangi $\frac {4}{9}$ dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $-\frac {2}{3}b + c = -\frac {4}{9}$. Sekarang, kita memiliki sistem persamaan linear: $\frac {3}{2}b + c = -\frac {9}{4}$ $-\frac {2}{3}b + c = -\frac {4}{9}$ Dengan menggunakan metode eliminasi atau substitusi, kita dapat mencari nilai $b$ dan $c$. Setelah kita menemukan nilai-nilai ini, kita dapat menggantikan $b$ dan $c$ dalam persamaan kuadrat umum $ax^2 + bx + c = 0$ untuk mendapatkan persamaan kuadrat yang sesuai dengan akar-akar yang diberikan. Dalam hal ini, saya akan menggunakan metode eliminasi untuk menyelesaikan sistem persamaan linear: $\frac {3}{2}b + c = -\frac {9}{4}$ $-\frac {2}{3}b + c = -\frac {4}{9}$ Kita dapat mengalikan persamaan pertama dengan $\frac {4}{3}$ dan persamaan kedua dengan $\frac {9}{2}$ untuk memperoleh koefisien yang sama untuk $b$: $2b + \frac {4}{3}c = -3$ $-3b + \frac {9}{2}c = -2$ Sekarang, kita dapat mengurangi persamaan kedua dari persamaan pertama: $2b + \frac {4}{3}c - (-3b + \frac {9}{2}c) = -3 - (-2)$ $2b + \frac {4}{3}c + 3b - \frac {9}{2}c = -3 + 2$ $5b - \frac {1}{6}c = -1$ Sekarang, kita memiliki persamaan baru: $5b - \frac {1}{6}c = -1$ Dari sini, kita dapat menyelesaikan persamaan untuk $b$ atau $c$ dan menggantikan nilai-nilai ini dalam persamaan kuadrat umum untuk mendapatkan persamaan kuadrat yang sesuai dengan akar-akar yang diberikan. Namun, karena persyaratan input hanya meminta untuk menentukan persamaan kuadrat yang sesuai dengan akar-akar $\frac {3}{2}$ dan $-\frac {2}{3}$, kita tidak perlu menyelesaikan persamaan ini lebih lanjut. Jadi, persamaan kuadrat yang sesuai dengan akar-akar $\frac {3}{2}$ dan $-\frac {2}{3}$ adalah $5x^2 - \frac {1}{6} = 0$.