5. Tentukan arus I(t) dan muatan Q(t) dalam rangkaian RLC seri dimana R= 10Omega ,L=1H,C=0,04F dan E=(25t+5) volt! Anggaplah bahwa pada saat t=0 , arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0

Question

Pertanyaan

5. Tentukan arus I(t) dan muatan Q(t) dalam rangkaian RLC seri dimana R= 10Omega ,L=1H,C=0,04F dan E=(25t+5) volt! Anggaplah bahwa pada saat t=0 , arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0

Tampilkan lebih banyak

Answer 1

us $I(t) = \frac{1}{25} (25t + 5) - \frac{1}{5} e^{-5t} \sin(5t)$

Penjelasan:

Persamaan diferensial yang menggambarkan rangkaian RLC seri adalah:

$L\frac{d^2Q}{dt^2} + R\frac{dQ}{dt} + \frac{1}{C}Q = E(t)$

Dengan mensubstitusikan nilai yang diberikan, persamaan menjadi:

$\frac{d^2Q}{dt^2} + 10\frac{dQ}{dt} + 25Q = 25t + 5$

Solusi umum persamaan ini adalah:

$Q(t) = Q_h(t) + Q_p(t)$

Dimana $Q_h(t)$ adalah solusi homogen dan $Q_p(t)$ adalah solusi partikular.

Solusi homogen diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik:

$r^2 + 10r + 25 = 0$

Akar persamaan ini adalah $r = -5$ (akar ganda). Oleh karena itu, solusi homogen adalah:

$Q_h(t) = (A + Bt)e^{-5t}$

Solusi partikular dapat ditemukan dengan menggunakan metode koefisien tak tentu. Karena $E(t)$ adalah polinomial linear, kita menebak solusi partikular dalam bentuk:

$Q_p(t) = Ct + D$

Mensubstitusikan ke dalam persamaan diferensial dan menyelesaikan untuk $C$ dan $D$, kita dapatkan:

$Q_p(t) = \frac{1}{25}t + \frac{1}{125}$

Oleh karena itu, solusi umum adalah:

$Q(t) = (A + Bt)e^{-5t} + \frac{1}{25}t + \frac{1}{125}$

Untuk menentukan konstanta $A$ dan $B$, kita menggunakan kondisi awal:

$Q(0) = 0$ dan $I(0) = 0$

Dari kondisi awal pertama, kita dapatkan:

$A + \frac{1}{125} = 0$

Sehingga $A = -\frac{1}{125}$

Kondisi awal kedua memberikan:

$I(0) = \frac{dQ}{dt}(0) = 0$

Menghitung turunan dari $Q(t)$ dan mensubstitusikan $t = 0$, kita dapatkan:

$B - \frac{1}{5} = 0$

Sehingga $B = \frac{1}{5}$

Oleh karena itu, solusi lengkap untuk muatan adalah:

$Q(t) = \left(-\frac{1}{125} + \frac{1}{5}t\right)e^{-5t} + \frac{1}{25}t + \frac{1}{125}$

Arus $I(t)$ diperoleh dengan mendiferensialkan $Q(t)$ terhadap waktu:

$I(t) = \frac{dQ}{dt} = \frac{1}{25} (25t + 5) - \frac{1}{5} e^{-5t} \sin(5t)$

Pertanyaan

5. Tentukan arus I(t) dan muatan Q(t) dalam rangkaian RLC seri dimana R= 10Omega ,L=1H,C=0,04F dan E=(25t+5) volt! Anggaplah bahwa pada saat t=0 , arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0

Jawaban

Pertanyaan Panas lebih